11 der darstellenden Geometrie lernt, lernt ein neues Ausdrucksmittel seiner Gedanken über die Körperwelt, eine neue Sprache kennen, und darin liegt der pädagog. Werth der darstellenden Geometrie“. ¹)

§ 1. Begriff der Projektion.

Man betrachte zunächst eine einfache Körperform, etwa einen Quader(rechtw. Parallelepiped) und denke sich dessen Lage(Fig. 1) gegenüber einer Ebene E so, daſs Fläche ABCDEFGH) parallel E ist. Ferner halte man das Auge so über den Quader, daſs die Sehlinien in der Richtung des Pfeiles S, annähernd parallel AE(FB u. s. w.) verlaufen. Das Auge ist demnach sehr hoch über E(in Vogelperspektive) anzunehmen. Alsdann bedeckt der Quader für das Auge einen Teil von E, der begrenzt wird durch das Rechteck A B C Di. Bei dieser einfachen Lage des Quaders ist A B C Di ABCD(EFGID). Man nennt diese Figur das Bild oder die Projektion des Quaders in Bezug auf E. ²) Es ist sofort klar, daſs die Projektion geometrisch bestimmt ist durch die Fuſspunkte aller Lote, welche von sämtlichen Punkten des Körpers auf E gefällt werden können. Hebt man hierbei die Ecken des Quaders hervor, so sind demnach die Punkte A Bi Gi Du nicht allein die Bilder oder Projektionen von den Ecken A, B, C u. D, sondern zugleich von E, F, G u. H, sodaſs z. B. Ar noch mit E bezeichnet wird; entsprechend müſste B noch das Zeichen Fi tragen u. s. w.

Markiert man die Figur A B Ci Di auf E durch einen Zeichenstift und versieht sie mit einer Färbung, die dem Quader angepaſst ist, so wird das Auge beim Beschauen des Bildes denselben Eindruck haben, als wenn es den Körper selbst sähe. Man nennt diese Art der Abbildung eines Körpers Parallel-Projektion, weil die Projektions- Strahlen parallel sind. In diesem besonderen Falle stehen sie zugleich senkrecht zur Bildebene, weshalb man auch von orthogonaler Parallel-Projektion spricht. ³²) Alle folgenden Projektionen sollen orthogonale sein, wenn es nicht ausdrücklich anders bestimmt wird.

¹) Während des Drucks dieser Abhandlung erhielt ich erst Kenntnis von einem Aufsatze Thiemes: „Die stereometrischen Konstruktions-Aufgaben“(Zeitschrift für mathem. Unterr. Jahrg. 23. S. 561. 1892). Hier werden ähnliche Gedanken ausgesprochen. Insbesondere werden 3 Arten von stereometrischen Konstruktionen unterschieden: 1) Grundkonstruktionen, 2) Netzkonstruktionen und 3) Projektionen.— Über No. 1 habe ich mich schon oben S. 6 geäußert. Thieme weist hin auf seine„Sammlung von Lehrsätzen und Aufgaben aus der Stereometrie“ Leipzig. 1885. Teubner.— Den Netzkonstruktionen(No. 2) kann ich keinen sehr hohen Wert bei- messen, wenn sie auch in dem hier folgenden Abrisse wiederholt vorgenommen worden sind.— Was endlich No. 3(Projektionen) betrifft, so sagt Thieme wörtlich:„Das Gymnasium mit seiner geringen Stundenzahl für Mathematik wird vorläufig auf diese Art der Lösung verzichten müssen. Daraus folgt aber durchaus nicht, daß es auch die erste und zweite Art stereometrischer Konstruktionen nicht pflegen darf“. Ein Zusatz des Heraus- gebers der Zeitschr. für Mathematik(J. C. V. Hoffmann) zu Thiemes Aufsatze entkräftet die eben angeführten Bedenken in treffender Weise.

²) Sehr hübsch läßt sich der Sachverhalt unter Anwendung des direkten Sonnenlichtes versinnlichen. Im Schlagschatten auf einer Wand zeigt sich sofort die Projektion. Der Quader ist hierbei aus Draht angefertigt.

³) Hier hat man hervorzuheben, daß die früher angewandte schräge Parallel-Perspektive die allgemeinste Art der Parallel-Projektion ist, und daß eine andere Art der Projektion, die Zentral-Projektion, die Grundlage der Maler-Perspektive bildet. Vergl.§ 13.

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