5 Auf noch anderweitige Gleichheiten führt später die Berechmmng der 23 einzelnen Keile selbst.

Es kann hier nicht eine vollständige Ableitung aller verlangten Gleichungen erwar- tet, sondern es soll blosz an einem einzelnen Falle gezeigt werden, wie sich mit so ein- fachen Mitteln die ganze Aufgabe behandeln läszt.

9. Zunächst ergiebt sich mit Hilfe von(2), dasz jedes der 48 Dreiecke von der Form qy ba cm, Weil die Keile oa, ob, oc rechte Keilesind,= 3 V man †. 2p2 †† n2„2) ist. Wegen dieses fortwährend hier auftretenden Ausdrucks bezeichne man zur wesent- lichen Abkürzung der Rechnung manꝰ ‿2p2 ̃2p2 mit 02, 80 dasz ap ba en= ¼ 0. Auch setze man zu diesem Zwecke im Laufe der Rechnung m ‿ꝙ£☚᷑; 72+ p2= V; n²+†. 2= M.

10. Ferner seien die Durchschuittspuncte. von bm(a und ba cu; bacy und bp cm; ba cy und bp ca

mit dp, dn; dm die von am ca Und qu Ccm..; am ba Und an bm,..; mit er fo

bezeichnet.

Damn ergiebt sich sofort, dasz die Puncte do da dm in der Halbierungslinie des zugehörigen Axenwinkels be ep éen em„„„„„„ 2 fy fa fa„„„„„„ 25 liegen. 11. Aus dieser Eigenschaft folgt unmittelbar, dasz bm dy: cn dy= em dp: bn dy= m: n;... und hiermit, dasz bady=e cnd)=—n Vü I, b d, ee d AWE; m Tn 7 m Tn 12. Endlich ist noch zu beachten, dasz wenn die Flächen ₰A), B, C, D eines Tetraeders sich durch andere darauf fallende Flächen, Be, C“, D' vermittelst eines und desselben Fac- tors x ausdrücken laszen, die Tetraedergleichungen in(1) bis(3) fortbestehen. Es ist also für— K=r d, B=er B, C=er C, D=rD', wenn 1= 1. B, OD= GD auch z. B. A²+˖ B12— 24' cos AB= C2+‿ D 2— 200’ cos Cp.