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eignet sich daher ganz besonders zu einer eingehenderen mathematischen Behandlung, so dasz der angehende Mineralog, wenn es an Zeit zu ähnlicher Untersuchung der übrigen Systeme gebricht, sich an jenem für das eigene Studium nicht blosz befähigt, sondern überhaupt Interesse hier- für und für Wiszenschaftlichkeit im Allgemeinen gewinnt.

Den oben ausgesprochenen Ansichten zufolge musz dann von dem Achtundvierzigfläch- ner als demjenigen Körper des regulären Systems ausgegangen werden, aus welchem sich alle übrigen holoedrischen wie hemiedrischen und tetartoedrischen Gestalten ableiten laszen. Für diesen Zweck aber reicht es nicht hin, allein die Flächenwinkel(Keile) jenes Körpers aus den Axencoefficienten zu berechnen, sondern es bedarf hierzu

der Kenntnis aller Keile, also auch derjenigen, welche irgend eine Fläche mit irgend einer andern einschlieszen würde, wenn man beide bis zu ihrem Durch- schitt erweiterte, die man bei einer Fundamentaluntersuchung in aller Vollständigkeit anzusprechen hat, um auf jede specielle Frage antwortbereit zu sein.

Ferner erscheint es als ein Mangel, dasz in der Regel nur aus den gegebenen Axencoef-

ficienten die Keile, nicht aber aus den Keilen die Axencoefficienten berechnet werden; während doch allein die Keile meszbar sind.

Mit diesem Alangei steht in genauem Zusammenhange, dasz der angehende Krystallograph

sich mit Recht fragt, wie denn der Mineralog zu dem Satze,

dasz die Axencoefficienten rationale Zahlen sind, gelangt sei, wo sich dann freilich die unsern heutigen Hyperpraktikern gar unnitz erscheinende Theorie der Zahlen als ein unliebsamer Gast hinzudrängt*).

Die Ableitung der Axencoefficienten aus den Keilen führt endlich noch von selbst auf die Ermittelung:

der gegenseitigen Abhängigkeit der Keile einer Gestalt welche zugleich zur Prüfung der Richtigkeit der ausgeführten Meszungen dient.

Der gesammte zu unserer speciellen Untersuchung erforderliche gelehrte Apparat er- mäszigt sich auf die Kenntnis der Trigonometrie, der Auflösung der quadratischen Gleichungen, und auf die beiden Lehrsätze der Tetraedrometrie:

1. dasz in jedem Tetraeder die Summe der Quadrate zweier Flächen vermindert um das doppelte Product dieser Flächen mal dem Cosinus des eingeschloszenen Keils gleich ist der gleichartigen Rechnungsverbindung der beiden übrigen Flächen und des diesen Zzuge- hörigen Keils:—

ne † B2—= 2 A B cos 1= C† D2—= 2OD cos C,

*) Vergleiche hierzu die schöne Arbeit von C. F. Naumann: Ueber die Rationalität der Tangentenverhält- nisse tautozonaler Krystallflächen. Abhandl. der K. Sächs. Gesellschaft der Wiszenschaften. IV.