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J.= 5 sin 22, 72 n
2 J.= nabtg u
Hieraus ergaben ſich als ſpecielle Werthe für das
Dreieck... J.= 3¾ ab V3, J.= 3ab V3; Viereck... J.= 2 ab, J.= 4 ab;
Fünfeck... J.= 5abV 10+ 25, J.= 5abV5— 275: Sechseck.. J.= 3½ 4b3, J.= 2abvV3;
Achteck... J.= 2abV3, J.= 8ab'2— 1); Zehneck... J.= ¼ abv 10— 25; J.= 2abV5(5— 2y5.)
3. Die von den beiden Ordinaten A20z uud Ar01(Fig. V.), der x⸗Achſe und dem Ellipſen⸗ bogen ArAs begrenzte Fläche F hat zum Ausdrucke
X2 22 F=— ſydx= ab ſʒa'aa⸗ XI 21 Die Integration liefert F= 1½2 abl(à2— 41)— ¹½(sin 2 22— sin 221)]. Da für das Trapez ArA2 0201 die Formel 1½ abſsin(2— 4.1)— 1¹½(sin 2 2— sin 2 21)] gilt, ſo wird das Ellipſenſegment ArAs, welches dem Unterſchiede der Fläche F und des Trapezes
gleich iſt, durch Segm.= 1½ 4 b[(à?— 241)— sin(az— 21)]
ausgedrückt. Sind Ar und Az Eckpuncte eines größten Polygons, ſo geht die Formel über in 4, 2 7. 2 x 2 à b— sin== g.
Dieſelbe wird man auch für ein Segment erhalten, das von einer anderen Seite eines größten Vieleckes gebildet wird, weshalb alle von den Seiten eines Vieleckes gebildeten Ellipſenſegmente gleichen conſtanten Werth haben. Es iſt ferner Dreieck A1OAz= 1½(X1 y2— yI X2)= 12 absin(ã²— 21), folglich Sector ArOAz= 1½ ab(as—.
Gehen OAt und O0Ae durch die Ecken eines größten N⸗eckes, ſo iſt
Sector Ar OA2= 1ah T,
welcher conſtante Werth auch jedem anderen Sector zukommt, deſſen Radivectoren die Ecken des genannten Polygons treffen. Verbindet man daher den Ellipſenmittelpunck mit den Ecken eines größten N-eckes, ſo ſind die entſtehenden Ausſchnitte flächengleich. Das n⸗fache obigen Ausdruckes liefert abz, den bekannten Werth der Ellipſenfläche.
Iſt Bi der Durchſchnitt zweier Ellipſentangenten in den Puncten Ai und As, deſſen Co⸗ ordinaten ei und n aus I., 9. zu entnehmen ſind, ſo beſtehe für das Dreieck Ar B Ae die Formel
△ AiBiAz= ½[(X1 11— yL181)+(1 y2— v1 X)+ ꝛ v1— y2 XI)], welche, wenn man die betreffenden Coordinaten durch die excentriſchen Winkel ausdrückt, die vor⸗ kommenden Functionen entwickelt und reducirt, ſich umgeſtaltet in