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Für die Coordinaten der Eckpuncte eines der Ellipſe umſchriebenen Vieleckes, deſſen Seiten dieſelbe in den Puncten Ar, A?.... A, berühren, können die Formeln in I., 9. angewendet worden; ſomit iſt bei demſelben

sin ½(— 21¹)

Cos 1½(41— A.½)os(A²— 1)

XIY2— yIX2= ab

sin ½(21— A.-1) Cos ie(M, a.)cos 12(2,—*.) sin ½(2— 2) 8 ½(1, A 1)Cos ½(11— 4²) und folglich der Flächeninhalt J. des der Ellipſe umſchriebenen N⸗eckes

Xn- 1In— Yn-iXn= A b

X yI— y XI= ab J Jo 1. c0

sin 1½(à3— a1¹) sin ½(44— 2²)+ J ab cosIe(à-— 22)cos 12(12— 43) cos—— 1½(43— ₰4): —2 sin ½(41— A,„-¹)+ sin ½(42— 2) 3 C0S 1½(24-1— 2An)COS ½(44— 41) C08 1½(A.— ⁴.⁴)cos ½(11— 4²)

Die Anzahl der Summanden iſt n, deren beide letzteren negativ ſind, bei der Berechnung von J. iſt aber ihr abſoluter Zahlwerth einzuführen.

2. Es bietet Intereſſe, die Bedingungen kennen zu lernen, unter welchen J. ſeinen größten und J ſeinen kleinſten Werth erlangt. Dieſe Unterſuchung kann mit Ausſchluß der Differenzial⸗ rechnung folgender Weiſe geführt werden. Bezeichnet man kurzweg

sin(a— aà*)+ sin(zs— aν) P.+ sin(ã1— an) mit f(àl, Aε... an),

sin ¹— 1 sin— ,———+O.+(a2.= 42)——— mit(11, A2....**), C0S12(4à1— A2)C0 2(42— 21) Cos 12(2,— a1) cos 1½2(41— 2²)

ſo iſt J.= 12 Abf(2¹, aν.... An), Ja= 1½2 àbr(1, A2.... In).

Für eine und dieſelbe Ellipſe mit den unveränderlichen Halbachſen a und b können ſich J. und

J nur mit f(ax, 4².... An) und„(41,..... 23) ändern und erhalten ihren größten oder kleinſten

Werth, wenn eben die Functi onen ihn beſitzen. Dieſe, weil unabhängig von der Conſtante 12ab, werden keine Aenderung erleiden durch die Aenderung der letzteren. Setzt man aber b= a, ſo ſind J. und J die Flächeninhalte eines dem Kreiſe ein- und umſchriebenen Vieleckes. Bekanntlich iſt von allen Polygonen das reguläre im Kreiſe das größte, das reguläre um denſelben das kleinſte. Gleichen Sehnen und Tangenten entſprechen aber gleiche Centriwinkel, demnach ſtehen die Winkel 41, A2.... D„, wenn J beim Kreiſe ſein Maximum und J ſein Minimum erreicht, in der Beziehung

2 (2— A⸗)=(à3— Aν²)=....= ½—=

Dieſe Werthe machen alſo 1(41, 22.... 2n) zu einem Maximum und„†(a1, 42.... 2„) zu einem Minimum. Und da nun unter dieſen Bedingungen

..2 x f(M-, A.... 2)= n sin=, n

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„(Q1, A½.... An)= 2ntgn

iſt, ſo findet man für die Werthe des größten eingeſchriebenen und des kleinſten umbeſchriebenen N⸗eckes der Ellipſe bezüglich die Ausdrücke

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