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6— O*+G we= r⸗

oder 12 † I1= 21— 2y„=r2—(42 †. 7*) geſchrieben werden. Der Werth des rechter Hand befindlichen Ausdruckes mag zunächſt ermittelt werden. Da r²=(s— a cos a*)²+(¶— b sin a1¹)*

iſt, ſo entſteht durch Entwickelung der Subſtitution für& und„ 2es sin ar sin ½(11+ 42)sin ½(12+ 23)sin ½(18+ 21) — 6²)=— cosai cos ½(à1+ 22) cos ¹2(A2+. 23)cos ½(4+† 1) + a² cos2 αι+& b sin² 1 Setzt man der Kürze halber 1½(11+ 22)= a, 1612+ 23)=, . 1½(63+ 41)= †, ſo ergibt ſich daraus A1=.— S+ 7, Die Einführung dieſer Werthe ändert die in der inneren Parentheſe vorkommende Größe um in 1 Ccos 22 sin 25 sin 27— sin 22 cos 25 sin 27 sin 22 sin 28½ cos 2+ 4 cos ²2 cos² cos²-]

— 4 sin2a sinz sin²- Wegen a2² cos?2 αι+‿ b sin2a= b²+ c² cos²Q und Ccos?² à Cos² cos2 †+ 1¹72 sin 22 sin 28 cos 2 cos² a=+ sin 2 sina cos² †+ ¹½ cos 22 sin 25 sin 2 + sin? cos² sin? †— ¹½2 sin 22 cos 25 sin 27+ cos z2a sin ² sin27 kommt

sin²a sin² cos².+ sin ²2 cos2 sin²- —(2+ r*)= b²+e:*+— cos:a sin¹s sin²— cosza cos² cos2-,, + 2 sinꝛ2a sin²s sin?- woraus durch Verwandlung der auftretenden Sinus in Coſinus oder umgekehrt der Coſinus in

Sinus entweder r2—(2+„ ²*)= 4² † c²— c*(cos²a+ cos26+ cos²⁷) oder r²—(²+ 7 ²)= b²— c*+ c*²(sin2o+ sin²ß+ sin ²) und hieraus endlich durch Addition r²—(2+„²)= ½(a²+ b²)— 1½ c*(cos 22+. cos 26+ cos 21) oder r²—(²+†„ ²)= ½(a+† b ²)— ¹½ c²lcos(al+‿ 2)+ cos(ã2+. 23)+ cos(as+f 41)]

folgt. Der Ausdruck links hat eine einfache geometriſche Bedeutung. Zieht man nämlich durch den Mittelpunct der Ellipſe den Kreisdurchmeſſer BBi, ſo iſt(001) 2= 82+*² und folglich

—(2+ 7 ²)= B0. B10. Die Gleichung des umſchriebenen Kreiſes geſtaltet ſich nun

G ² 12 y2 22 cos ½(à1+ a2) cos ½(42+. 23) cos ½(as+ A1)X

+ 21 sin 1½(11+ 4c) sin ½(12+. 2s) sin 1½(44+† 1)y = 1ĩ½(a2+ b ²)— 1½ c2ſcos(a+)+f cos(a2+. 2³)+ cos(as+† 21)].