Das Product derſelben führt zu
(OPl)².(OPz)²=(a4+f b) sin 261 cos2+ a²b(sin4 ½+ cos¹1), woraus nach Addition der ſich aufhebenden Größe
— 2a¹b sin² 31 cos2+ 2 a2 b sin² 31 cos2² 1 (9)(OPi).(OPz)²= 19¼(a²— b²) 2sin²1+ a2 bz hervorgeht. Nennt man e den von den zugeordneten Durchmeſſern eingeſchloſſenen ſpitzen Winkel (Conjugationswinkel), ſo gilt für ihn die Gleichung 2 ab
(a²2— b ²) sin 251) Der Nenner dieſes Ausdruckes erlangt den größten und ſomit— den kleinſten Werth bei 61= ¹¼,
tangg=
wo ig?=2a, wird; er iſt am keinſten bei 61= 0, wo„= 1/2—x wird. Der Conjugations⸗ winkel iſt folglich am kleinſten, wenn die große Achſe denſelben halbirt, und am größten, wenn die Durchmeſſer auf einander ſenkrecht ſtehen. Indem man aus obiger Gleichung a2 b2 4(a42— b ²)² sin² 2 1+ a2 b² ableitet und dieſe Gleichung mit der in(9) multiplicirt, gelangt man zu der Beziehung OPr. OPz sing= ab,
welche ausſagt, daß in einer Ellipſe alle durch Verbindung der Endpuncte zweier conjugirter Durch⸗ meſſer entſtehenden Parallelogramme flächengleich ſind. Die Länge der Sehne ArA« findet ſich aus der Formel (Ai A²)?= a²(cosaz— cos a*)?+ b(sinaz— sin a¹)“, die nach einigen Umformungen in (Ai Az)²= 4sin? 1½(à2— 41)[a sin² 1½(à1+ 4²)+ b²cos ² ½(a1+. a2)] übergeht, woraus mit Berückſichtigung, daß die in der Parentheſe befindliche Größe das Quadrat der Länge des dem Puncte 12(21+ 22²) conjugirten Halbdurchmeſſers OPe bezeichnet, das Reſultat (10) ArAz= 20 Pz sin ½(42— 1)
ijn 2= Sm 4= 1
zum Vorſchein kommt.
Die Entfernung der Sehnenmitte M vom Coordinatenanfangspuncte wird ausgedrückt durch (OM)²= Cos2 1½(1²2— 21 ಠcos² 1½(a21+ 2²)+ bsin² ¹½(à1+ 2)] oder, da die Parentheſe gleich iſt dem Quadrate des Halbdurchmeſſers OPi, durch OM= OPi cos ½(42— 1).
Somit iſt(OPü)²—(OM)?=(OPr)² sin?2 ½(à2— 1) und nach(10)(Ar M)²2=(OPz) ² sin?2 ½(42— 1) Hieraus entſpringen die Verhältniſſe
(OPi) ²:(OP2)2=(OP1)²—(OM)2:(Ar M)²
= MPr. MPa:(Ai M)?,
nach welchen in einer Ellipſe ſich die Quadrate irgend zweier conjugirter Halbdurchmeſſer zu einander verhalten, wie das Rechteck aus den Segmenten des einen Durchmeſſers zum Quadrate der dem anderen parallelen Halbſehne. In dem Falle, daß die conjugirten Durchmeſſer gleich ſind, folgt