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3. Die Abſciſſe und Ordinate der Mitte M der Sehne ArAs(Fig. II.) ſind 1½ a(Cos al+. cos àꝛ)= à cos ½(à2— 21) cos ½(41+ a2²), 12 b(sin ax+ sin 42= bcos ½(a2— 21) sin ½(à1+ 22).

Die Gleichung der Geraden, welche den Ellipſen⸗ und Sehnenmittelpunct enthält, hat demnach die Form, wenn è unden wiederum die laufenden Coordinaten bedeuten,

(6) 7= 4 tang ½(41+ 42) 8.

Sie repräſentirt nach(5) zugleich die Gleichung eines Durchmeſſers, der durch einen der Mitte des Bogens(11+ 2²) entſprechenden Punct der Ellipſe geht. Denkt man ſich einen zweiten Durch⸗ meſſer parallel zur Sehne ArAs gezogen, ſo beſitzt derſelbe nach(2) die Gleichung

7=— Aeotg ½(1+ 1)8.

2 Die Richtungsconſtanten beider Durchmeſſer bilden das unveränderliche Product(— 2.) und ſind

deshalb einander conjugirt. Sollen daher zwei durch die Ellipſenpuncte Pi und Pa gehende Durch⸗ meſſer, deren Gleichungen b 7= ats 6u8 und

6)

b =Atg B2 8 3 ſind, einander conjugirt ſein, ſo müſſen ihre Richtungsconſtanten der Bedingung b b b2² aA tg ki. atg 82=— 223 genügen. Daraus folgt tg 61. tg 62=— 1 oder 62— 81=.

Der Flächeninhalt des Deieckes NrOPi iſt gleich 1½ absini cos i und der des Dreieckes NaOPz gleich 1½2 ab sin 62 cos z oder wegen vorſtehender Relation gleich— 1½2 ab sini coshr, beide ſind alſo flächengleich. Für die Längen zweier conjugirter Halbdurchmeſſer OPi und OPa

findet man(OPl)z= a2 cos21+. b sinz g1 (8)(OP)= a² cos²s+ b2 cos²s= a2 sin2 1+ft b² cos21. Die Summe dieſer Quadrate liefert den Ausdruck (OPr)?+(OPz) ²2= a²+ b, wonach die Summe der Quadrate irgend zweier zugeordneter Durchmeſſer ſtets gleich der Summe der Quadrate der beiden Hauptdurchmeſſer iſt. Ihre Differenz iſt (OPi)²—(OPz)²=(a²— b²)cos 251. Die Größe rechts verſchwindet bei g1= was die Gleichung

OPi— OPz zur Folge hat. Dann iſt aber nach(7)

b 2*.

Hiernach werden die conjugirten Durchmeſſer gleich, wenn ſie die Diagonalen eines von den Tangenten der Achſenſcheitel der Ellipſe gebildeten Rechteckes darſtellen.