Anwendungen des excentriſchen Winkels.

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J.

1. Beſchreibt man(Fig. I.) über den beiden Achſen der Ellipſe als Durchmeſſer Kreiſe und zieht den Radius OPi, der ſie in den Puncten P und Pi ſchneidet, ſo iſt, wenn man durch P und Pi die mit den als rechtwinklig angenommenen Coordinatenachſen OX und OX parallelen Linien MPi und Nài legt, ihr Durchſchnittspunct Ai ein Punct der Ellipſe. Für denſelben gelten, ſobald man den Winkel PrOM, welchen man den excentriſchen nennt, mit a, die große und kleine Halbachſe der Ellivſe mit a und b, OM mit x und AlM= ON mit y bäzeichnet, die Beziehungen

(1) X= a cos ai, y= bsin a1.

2. Eine die Ellipſe in den Puncten At und A«, deren excentriſche Winkel ar und aà*² ſein mögen, treffende Sehne hat, unter 8 und„ die laufenden Coordinaten verſtanden, die Gleichung

7— bsin a1 b sin a— sin de 6— aà cos a a cos à*— Cosa*² 7 b (2)=— x'eotg ½(A1+ 22),

der man auch nach einigen goniometriſchen Umformungen die elegantere Form

(3) l sin ½(41+. 22). K.os 1½(11+† 42)= Cos ½(a2— a1) geben kann. Wenn die Puncte As und Ai zuſammenfallen und ſomit 22= 21 wird, verwandelt ſich die Sehne in eine Tangente, deren Gleichung im Puncte Au

4) A. sin ai ₰. E. cos 11= 1 b à

iſt. Sie wird zu einem Durchmeſſer in Au, ſobald die Differenz der beiden excentriſchen Winkel 212— a1 den Werth z erlangt, wodurch aus(3) die Gleichung enſteht:

(5)=h tang 218.