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Die jetzt gültigen Bedingungen ¹(x)= u(z+ 21)= u(· † 41)= ĩ... =—(—-)=— u(— z2— 2!)=.....(5) zeigen, dass u eine ungerade Funktion von x und periodisch sein muss mit der Periode 2. Die Lösung der Differentialgleichung(3) ist ein zweigliedriger Ausdruck, dessen erstes Glied mit sin z und dessen zweites mit cos multiplizirt ist. Die beiden letzten Bedingungen (4), sowie(5) erfordern, dass wir nur das erste dieser Glieder benützen und zwar mit dem etwas veränderten Faktor sin a— ꝛ, Wo« eine beliebige positive Zahl ist. Der mit sin a 4 ꝛ mul- tiplizirte Ausdruck enthält nun seinerseits die Cylinderfunktionen der 1. und 2. Art. Die der 2. Art ist wegen ihres Unendlichwerdens für= 0 nicht brauchbar, so dass wir als Lösung von(3) erhalten

4= 84 81 sin a, e(A sin mę+† B cos mo),..(6)

wo über alle ganzen Zahlen m und à zu summiren ist. Wegen der ersten Bedingung(4) muss die Gleichung stattfinden

9(½,*)= 2 2 sin à 7.*(A sin m+ B cos mN)...()

In dieser Gleichung müssen d Cus. A und B noch bestimmt werden. Allgemein lässt sich nun die Funktion(,*) in eine trigonometr. Reihe von folgender Form entwickeln:

9(½, 2)= 81 IE(e) sin me+ Ga(ꝛ2) cos mp]...(68)

In dieser Entwickelung müssen die Coeffizienten von sin mç und cos m; mit den gleich- liegenden Coeffizienten der rechten Seite von(7) übereinstimmen; es muss also werden

Ia(2)= 84 4 sin a 2. ꝛ und Ga(·)= 8 B, sin 24 2. 2

Da Fim und Ga für= 0 und ⸗= verschwinden sollen und ihr Argument zwischen 0 und? willkürlich ist, so lassen sich diese Funktionen in Sin.-Reihen ſentwickeln, bei denen sich für die A und B nach Fourier folgende Werte ergeben:

1 44= 7 fh In 0) sin a X.à und B.= h Ge 0) sin 2— †„0.

0 0 Diese Werte der Coeffizienten, die mit Hülfe der aus(8) für J 00) und Ga) erhaltenen

Werte bestimmt werden, sind schliesslich in(6) einzusetzen. 8. . 4 6