III. Berechnung des von den Coordinaten„ und- abhängigen, mit der Zeit, veränderlichen Wärmezustandes eines Cylinders.
Ein masssiver, homogener Cylinder, von der Länge 7 besitze die Anfangstemperatur F(r,, 2), und während seiner Abkühlung werde seine krumme Begrenzungsfläche 7= R be⸗ ständig auf der Temperatur 9(ę, x), seine ebenen Endflächen ⸗= 0 und?= I(wir legen den Anfangspunkt des Coordinatensystems in den Mittelpunkt der einen Querschnittsfläche) auf 9r(r, p) resp. g.(r, x) erhalten. Es ist also eine Funktion Z von r, x und z zu finden, welche folgender Partiellen Differentialgleichung
5Z 5²⁷⁷ 5²⁷ 1 Z 1 5
(1). r jederzeit genügt und folgende Bedingungen zu erfüllen hat (2).. ZA= o= J(r, p,); Er== 9(*, 2); 2e=o= JI(,); Ze=!= 9a(r, H).
Nach der bisher eingeschlagenen Methode nehmen wir wieder eine Zerlegung der Auf- gabe vor. Der Abkürzung wegen sei die rechte Seite von(1) mit A2. bezeichnet. Die Funktion zerlegen wir wegen der 4 Bedingungsgleichungen(2) in folgende drei:
Z=ST U V. Denken wir uns in der Tabelle() Seite 4 die Funktionen †, 9, 9r, 9 mit den in(2) vor- geschriebenen Argumenten versehen, ferner ⸗= 0 anstelle von= 0, 2= anstelle von
+= 2 gesetzt, so liefert uns dieselbe unmittelbar eine Übersicht über die Verteilung der jetzigen Grenzbedingungen; in demselben Sinne gelten jetzt die dort vorgenommenen Spal- tungen der Funktionen U und V.
1. Ermittelung des Finalzustandes. — 5
Bedingungen: 5*„, Su 1 Sdu 1 O222 (3).. er r; 74 0: (4).. Ar= R= 9(C, 2); ur ⸗o= 0;.= 1= 0.
Die Lösung für diesen endlichen Cylinder führen wir auf die des unendlich langen in folgender Weise zurück. Wir verlängern den gegebenen Cylinder nach beiden Seiten hin in's Unendliche und erhalten die zur Achse senkrechten Querschnitte z·= 0, 7, 27,...— 7¼, — 21,... desselben in der Weise auf der Temperatur 0, dass wir je zweien dieser so ent- standenen, aneinanderstossenden Cylindern invers symmetrische Temperaturverhältnisse beige- gelegt denken. Xhnlich verfahren wir mit der Wärmeverteilung auf der Mantelfläche; jede Cylinderkante soll zu beiden Seiten eines solchen Symmetrieschnittes invers symmetrisch gelegone Temperaturverhältnisse zeigen. Bei dieser Temperaturverteilung wird der Finalzustand des un- endlich langen Cylinders keinen Einfluss ausüben auf denjenigen des Cylinders von der Länge J.