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411 a(¾ †) † 4A, /,(Xe*) †.....= R, B1 Ian(ur 7)+ B. 7(u2) †.....= R., u. s. w. In diesem System von Gleichungen sind nun die Coeffizienten 4A, B,... zu bestimmen. Die allgemeine Gleichung desselben sei L. Jmn(341 7)+ L. Jan(32 †) P...+ L, AImn(3,7)...= Ra(23)

Wir multipliziren vorstehende Gleichung mit 7 Jan(3 T) und integriren gliedweise von 0 bis R. Da nun

.ER / Jan(61T) Jum(67 T) rdr 5

1

0 für 5 S= 1 R.[7(ern) J für 4=⸗..(24) 2 mn

ist, so verschwinden alle Integrale der linken Seite ausser demjenigen, welches mit L, mul- tiplizirt ist, sodass wir als Wert von L, erhalten:

2. R

,(*) 5) r= R

Die Formeln(24) erhält man bald, wenn man die Gleichung(18), welche durch Jan(617) identisch erfüllt wird, mit Jan(6nT) multiplizirt, zwischen den Grenzen 0 und R in- tegrirt und dann das erste Glied zweimal partiell integrirt. Aus der so resultirenden Gleichung ergibt sich sofort eine zweite durch Vertauschung der Wurzelwerte a und on. Die Vergleichung der so erhaltenen beiden Gleichungen liefert die Formeln(24).

Somit sind alle Bedingungen(17) erfüllt und deshalb(20) die Lösung für S.

Es könnte zweifelhaft erscheinen, ob eine Entwickelung nach mten Cylinderfunktionen, wie wir sie in(23) vor uns haben, deren Argumente die Wurzeln einer Gleichung sind, mög- lich sei. Dass dies der Fall ist, lässt sich zeigen mit Hülfe einer Beweisführung, die Sturm und Liouville¹) bei Summirung trigonometrischer Reihen gegeben haben.

Die Summe der linken Seite von(23) nach Einsetzung der Werte der Constanten werde vorläufig mit Sa bezeichnet, also

J*(6R) ist zur Abkürzung für gesetzt.

Im(6 1†) 4 Ra m 1— m.. 2-— Je(2. R) 6 1 Im(d 1†) rdr= S(25)

(n ist der bequemeren Schreibweise wegen= 1 gesetzt). Bei dem vorhin angegebenen Ver-

¹) Liouville, Journ. d. mathém. I. Série, 2. Tome pg. 220.