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5. Ermittelung des von der Zeit abhängigen Temperaturzustandes S.

Bedingungen: 58 5²⁸ 1 08 1 5²⁸ 449)..„ʒy,, e (17).. 8= o— f(r.); Or= k— 0; S= o= 0, S, 2— 0.

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Es soll eine Funktion S von k, r und gefunden werden, die einen Wärmezustand darstellt, den der Cylinderausschnitt nach einer gewissen Zeit angenommen hat, wenn er vorher eine gegebene Anfangserwärmung(r,) hatte, und wenn seine drei Begrenzungs- flächen während der Abkühlung auf der Temperatur O erhalten werden. Der Verlauf der Wärmeströmung wird in diesem Cylinderausschnitt derselbe bleiben, wenn wir letzteren ver- mittelst 2n— 1 ihm kongruenter Körper zu einem vollständigen Cylinder ergänzen und in demselben die Anfangstemperatur in der Weise festsetzen, wie wir es bei der Berechnung des Finalzustandes gethan haben. Jedoch erhalten wir im jetzigen Falle den ganzen Cylindermantel auf der Temperatur 0. Hieraus folgen für die Punkte des Cylinders noch die Bedingungen, wie wir sie in(7) aufgestellt haben.

Um eine Lösung der Differentialgleichung(16) zu finden, setzt man

S= PH(, p) Dem t haben wir den für jeden reellen Wert von X negativen Faktor—*⁄à2 hinzugefügt, damit der Wärmezustand S nach unendlich langer Zeit nicht unendlich gross werde, was ungereimt sein würde. muss jetzt der Gleichung 2 2 5 Or. Sr r genügen. Wir setzen ferner 17=(A sin mo+ B cos mo), wo m alle ganzen Zahlen durchlaufen kann, A und B noch zu bestimmende Constanten sind und p nur Funktion von y ist; dasselbe muss die Gleichung erfüllen 5*⁸ 1 m 9e). B e( e)⸗ Diese Gleichung besitzt zwei Integrale, von denen das eine für= o unendlich wird; dieses müssen wir von unserer Betrachtung ausschliessen. Die andere Lösung findet man, wenn man versucht, der Gleichung durch eine Reihe zu genügen, die nach Potenzen von/ fort- schreitet. Die erst willkürlich angenommenen Coefficienten und Exponenten bestimmt man dann nachträglich.