13

Die einfachste Annahme über die Menge des aus einer Schicht in die darauffolgende über- tretenden Salzes ist, dass dieselbe dem Concentrationsunterschied der beiden Schichten proportional ist. G

Da nun diese Annahme einer der von Fourier über Verbreitung der Wärme in Leitern aufgestellten und mit soviel Erfolg auf die Wärmeerscheinungen angewandten Hypo- thesen entspricht, so verfiel, wie bereits erwähnt wurde, Fick auf den glücklichen Gedanken, die sämmtlichen Fourier'schen Hypothesen über den Wärmestrom auf den Diffusionsstrom zu übertragen und gelangte so zu einer Differentialgleichung der Diffusionsbewegung, deren Ableitung uns sogleich beschäftigen soll.

Nehmen wir der Einfachheit halber an, wir hätten ein bis zu einer gewissen Höhe mit Salzlösung und von da ab mit Wasser gefülltes Gefäss von constantem Querschnitt,— also ein prismatisches oder cylindrisches,— genau vertikal gestellt. Nachdem Diffusion eingetreten ist, ist die Concentration ¹¹, d. h. die Quantität(Gewicht) Salz, welche in der Volumeneinheit enhalten ist, in jeder Horizontalschichte des Diffusionsgefässes constant und variirt blos mit der Entfernung æ dieser Schichte von der Oberfläche der Diffusionsflüssigkeit und mit der Zeit?; es ist also:

u= f(g, t).

Die den Fourier'schen Hypothesen entsprechenden über den Diffusionsstrom lauten: die Salzmenge d S, welche im Zeitelement durch irgend eine Horizontalschichte fliesst, ist proportional dem in gleichem Zeitmoment stattfindenden Unterschied der Concentration in dieser und der nächst benachbarten, um die unendlich kleine Grösse dæ davon abstehenden Schicht, proportional der Grösse 7 des Querschnitts des Gefässes und der Grösse d des Zeitelements, endlich umgekehrt proportional der Entfernung daæ der beiden Schichten, somit gleich:

2) 48= 9(44) dt,(D) wo k eine blos von der Natur des Salzes abhängende Constante bedeutet.

Pag. 4 wurde bereits gezeigt, dass diese Gleichung nach eingetretenem Beharrungs- zustand in die folgende übergeht:

8= 12 2,(2)

aus welcher wir die nachstehende Definition von herleiten können: Die Diffusionsconstante repräsentirt diejenige Salzmenge, welche beim stationären Zustand in der Zeiteinheit durch die Einheit des Querschnitts fliessen würde, wenn auf die Längeneinheit ein Concentrations- unterschied gleich Eins vorhanden wäre.

Nach diesen vorbereitenden Erklärungen gehen wir zur Herleitung der Differential- gleichung der Diffusionsbewegung über und bezeichnen zu diesem Zweck vier aufeinander- folgende, von oben nach unten gerechnete, um dæ von einander abstehende Querschnitte des Diffusionsgefässes durch M, N. 0, P. Die Concentration sei zur Zeit von M bis N

gleich u, von N bis O gleich u+( 44) dæ= u und von O bis P gleich 2—(²*⁴) d æ.