— 17—

Es ſei nun der kleinſte Achſenſchnitt ABC gegeben. Wir wollen den Achſenſchnitt CXY, deſſen Lage durch den Winkel AMX= 9 gegeben ſei, durch Zeichnung und ſeine Seiten x und y durch Rechnung finden. Wir denken uns den Achſenſchnitt CXY um XY ſo lange gedreht, bis er in die Ebene des Grundkreiſes fällt. Dann liegt CZ in der Verlängerung von HZ. Dies führt zu folgender Konſtruktion.

Wir ziehen in dem gegebenen kleinſten Achſenſchnitt die Höhe CH, beſchreiben über AB als Durchmeſſer den Kreis, ziehen in ihm den Durchmeſſer XY, der mit AB den Winkel bildet, und fällen auf ihn von H die Senkrechte Hz. Dann beſchreiben wir um M mit MO den Kreis, der die Verlängerung von HZz in C trifft. Dann iſt CXG der geſuchte Achſenſchnitt.

Es iſt: X½+ y2= a2+ ba wenn a undb die Seitenkanten des kleinſten Achſenſchnitts ſind. Nun iſt X2— y?2= 2 r. 2 ZH

und as— b2= 2 r.. 2 ZM alſo:= 211 cos 2:?— b2 Z. 1 alſo x2— v2= a2 cos— b2 cos; aus der erſten und letzten Gleichung folgt durch Addition: 2 2= a ²(1+ cos)+ b ²(1— cos) und X2— ar cos: † b: sin? 2 ebenſo: ve= au sin² ¾+ be cos: 3.

Wir haben alſo das unerwartete Ergebnis, daß die Länge der Seitenkanten des beliebigen Achſenſchnitts CX Y nur von ſeiner Lage und der Länge der größten und kleinſten Seiten⸗ kanten abhängt, nicht aber, wie man hätte erwarten können, von dem Durchmeſſer des Kreiſes.

Wir wollen nun auch die Größe des Achſenſchnitts durch Rechnung feſtlegen. Es ſei CZ= 2, ſein Inhalt alſo r z. Nun iſt:

t2— 22= 022 tz— h= OH2 t2— 22 022²

alſo: 1e= Ge cos ²—% t?— 22= t cos?— hé cos„ 2²2= tz sin²+ h cos² f r² 22= re tz sine ᷣ+f r’ h2 cos„.

Bezeichnet man den Inhalt des größten Achſenſchnitts mit G, den des kleinſten mit K, den des mittleren CX N mit A, ſo iſt M2= Gè sin²+ Kô cosz ꝙ. Alſo auch hier iſt der Inhalt nur von der Lage des Achſenſchnitts und dem Inhalt des größten und kleinſten Achſenſchnitts M abhängig.

Legen wir einen zweiten Achſenſchnitt CX N’ ſo, daß X,N 1X V, alſo=+ 90⁰ wird, ſo erhalten wir Mꝛ*= G cosz&+ K=a sin? alſo M+ M“= G2²2+ K..

Die Summe der Quadrate zweier Achſenſchnitte, deren Grundlinien auf einander ſenkrecht ſtehen, iſt alſo konſtant.

Dies reizt nun auch die Winkel an der Spitze der Achſenſchnitte, alſo die verſchiedenen Winkelöffnungen des Kegels zu unterſuchen. Für ein beliebiges Dreieck ABC gilt die leicht nachzuweiſende Beziehung: 1

tang= 9 t²2—