als die 3 Wurzeln einer Gleichung III. Grades, deren Coeffizienten rationale Funktionen der Seiten des Dreiecks HMO ſind. Die Gleichung ſagt uns nur, daß es höchſtens ein Dreieck gibt, das mit Zirkel und Lineal allein nicht konſtruiert werden kann, wofern das Lineal ledig⸗ lich nur zur Verbindung 2 Punkte benutzt wird. Ueber die Lage des geſuchten Dreiecks ſowie eine wirkliche Konſtruktion erfahren wir nichts. Hier hilft die geometriſche Betrachtung.

Es iſt bekanntlich: OM= Vr(r— 20)= 12,(2*) und PO= 2— e

(F die Mitte von HM) weil der Feuerbachſche Kreis den Inkreis berührt. Es iſt alſo: 0OM2= 2r FO. Damit iſter und damit auch 9 gegeben. Wir können alſo den Umkreis, den Feuerbachſchen Kreis, den Inkreis und namentlich den Kegelſchnitt der Aufgabe 8 zeichnen. Nun ſind die Seiten des geſuchten Dreiecks die gemeinſamen Tangenten des Inkreiſes und des Kegelſchnittes. Dieſe Tangenten kann ein geübter Zeichner mit ziemlicher Genauigkeit ziehen ohne die Ellipſe ſelbſt zu zeichnen. Er dreht den Winkelhaken ſo, daß der Scheitelpunkt des rechten Winkels auf dem Feuerbachſchen Kreis ſich bewegt und die eine Kathete beſtändig durch H geht, bis die 2. Kathete den Inkreis berührt.

Nun gibt es 4 gemeinſame Tangenten, alſo auch 4 Dreiecke. Im Falle der Ellipſe— wennr— HM— ſcheiden ſofort die beiden aus, denen der Inkreis angeſchrieben iſt. Ueber die Wahl der beiden anderen entſcheidet die Beſtimmung, daß M der Mittelpunkt des Um⸗ kreiſes ſein ſoll.

Auf dieſe Aufgabe kann auch die: ein Dreieck zu zeichnen aus r,, a+ b+ c= 28, deren rechneriſche Löſung ebenfalls eine Gleichung III. Grades ergibt, zurückgeführt werden. Es iſt nämlich durch r, o und s auch M und OM gegeben.

HM ²= 2 02+ 80 9 r*— 252= 2(2 r+ o+ s) 2 r+† o— s) † r HO2= 3 ez² † 4r e † 4 r:— s⸗=(2 r †— s)(2 r † 6— s) 2 62

II. Achſenſchnitte eines ſchiefen Kegels.(Fig. 14)

Unter Achſe verſtehen wir hier die Verbindungslinie der Spitze c mit dem Mittelpunkte des Grundkreiſes und unter Achſenſchnitt das Dreieck, das eine durch die Achſe gelegte Ebene aus dem Kegel ausſchneidet. Seine Seiten heißen Seitenkanten des Kegels. Alle Achſenſchnitte ſtimmen überein in der Grundlinie 2 r(Durchmeſſer des Grundkreiſes) und der Mittellinie t (die Achſe) folglich gilt für die Seiten x und; eines beliebigen Schnitts:

X2+ y2= 2 r⸗+ 2 t= constans.

Wir ſuchen zunächſt die kleinſte und größte Seitenkante. Es ſind dies die Seiten des Achſenſchnitts, der die Höhe des Kegels enthält. Denn ihre Fußpunkte A und B haben von dem Fußpunkte H der Höhe HC die kleinſte bezüglich größte Entfernung.

Wir wollen nun die Achſenſchnitte hinſichtlich ihres Flächeninhalts vergleichen. Da ſie alle gleiche Grundlinie haben, ſo brauchen wir bloß ihre Höhen zu vergleichen. Sei CXX ein be⸗ liebiger Achſenſchnitt, CZ ſeine Höhe. HZ iſt die Projektion von CZ, ſteht alſo ſenkrecht auf O2 folglich liegt Z auf dem Kreiſe über HO als Durchmeſſer. Die Größe von CZ hängt nun von der Entfernung des Punktes Z von H ab. Sie wird am kleinſten, wenn Z in H, am größten wenn H in O fällt. Darum iſt der Achſenſchnitt, welcher die Höhe des Kegels enthält, am kleinſten, der, welcher die Achſe zur Höhe hat, am größten. Seine Grundlinie ſteht ſenkrecht auf dem Durchmeſſer AB.

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