— 15—

iſt aber der Mittelpunkt M des Umkreis; denn die Halbierungslinie eines Dreieckswinkels halbiert auch den Winkel zwiſchen der nach der betreffenden Ecke gezogenen Höhe und dem Radius. Um die große Achſe und die Berührungspunkte mit den Seiten zu erhalten, ſpiegeln wir den Brennpunkt H gegen die Seiten. Dieſe Spiegelbilder liegen nun bekanntlich auf dem Umkreis. Ihr Abſtand vom zweiten Brennpunkt iſt die geſuchte große Achſe. Dies iſt alſo der Radius. Die Berührungspunkte liegen auf den nach den Spiegelpunkten gezogenen Radien. Die von den Fußpunkten auf die Tangenten der Ellipſe gefällten Senkrechten liegen auf dem

Kreiſe, den man um den Mittelpunkt mit der halben Achſe, alſo 2 beſchreibt. Alſo liegen zunächſt die Fußpunkte der Höhen und die Mittelpunkte der Seiten auf einem Kreiſe. Dann aber auch die Mittelpunkte der oberen Höhenſchnitte, die in dieſem auf den Höhen errichtete Senkrechten ſind ebenfalls Tangenten der Ellipſe. Sie bilden ein dem erſten Dreieck kon⸗ gruentes Dreieck, in dem aber H und M die Rollen vertauſcht haben.

Wir ſind alſo hier auf dem Umweg über die Ellipſe zu dem„Kreis der neun Punkte“ oder Feuerbachſchen Kreis gekommen.

Wir nehmen H beliebig in einem Kreis M an und zeichnen die Ellipſe, die Häund M zu Brennpunkten und den Radius r zur großen Achſe hat. Nun legen wir von einem beliebigen Punkt X des Kreiſes M an die Ellipſe die Tangenten indem wir um X mit XH den Kreis beſchreiben, der den Kreis M in den Punkten D und E ſchneiden möge und dann von X auf HD und HE die Senkrechten fällen. Dieſe ſind dann Tangenten der Ellipſe. Sind Y und Z die Schnittpunkte der Tangenten mit dem Kreiſe M, ſo iſt auch yz eine Tangente der Ellipſe. Da nämlich der Bogen XD= XIE iſt, ferner XZ. Mittelſenkrechte von HE iſt, ſo iſt: ₰ XZD= XZE=+₰ XZH, d. h. Z, H, D liegen in einer Geraden und zwar iſt dieſe Höhe im Dreieck XXZ. Gleiches gilt von Y, H, E. H iſt alſo Schnittpunkt der 3 Höhen. Da nun ₰ YZH= ₰ X ZM iſt, ſo muß VZ Tangente ſein.

Wir haben hier einen Einzelfall eines viel allgemeineren Satzes: Iſt ein Vieleck einem Kegelſchnitt eingeſchrieben und zugleich einem andern umgeſchrieben, ſo gibt es unzählige Viel⸗ ecke von der gleichen Seitenzahl, die dieſen Kegelſchnitten ein⸗ und umgeſchrieben ſind.

Wir hatten die Aufgabe auf das ſpitzwinklige Dreieck eingeſchränkt. Bei dem ſtumpf⸗ winkligen Dreieck liegen H und M außerhalb desſelben, es iſt alſo keine Ellipſe möglich. An ihre Stelle tritt die Hyperbel. Da die zur Löſung benutzten Sätze auch für die Hyperbel— im gewiſſen Sinne auch für die Parabel— gelten, ſo gelten unſere Ausführungen auch für die allgemeiner gefaßte Aufgabe:„Einen Kegelſchnitt zu beſchreiben, der die Seiten eines Dreiecks berührt und den Umkreismittelpunkt zum Brennpunkt hat.

Beim rechtwinkligen Dreieck wird dieſer zur geraden Linie, die den Mittelpunkt der Hypotenuſe mit der gegenüberliegenden Ecke verbindet.

10. Ein Dreieck zu zeichnen, von dem die Mittelpunkte des Um⸗ und Inkreiſes M und O und der Höhenſchnittpunkt H gegeben iſt.(Fig. 12)

Die Aufgabe geht weit über den Unterrichtsſtoff des Gymnaſiums hinaus; doch dürfte ihm nahe Beziehung zu der vorhergehenden Aufgabe ihre Behandlung an dieſer Stelle recht⸗ fertigen. Faßt man die Aufgabe rechneriſch an, indem man die Seiten des Dreiecks H M O mittelſt r und den Winkeln des Dreiecks AB ausdrückt, ſo ergeben ſich cos a, cos 5, cos„