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Planetenbahnen bekannt. Nun hat der große Mathematiker Gauß gezeigt, wie man aus der Kenntnis von 3 Punkten der Bahn eines Planeten die ganze Bahn durch Rechnung feſtlegen kann. Wir wollen nun dasſelbe durch die Zeichnung erreichen. Dazu führt folgende Ueber⸗ legung. Der gegebene Brennpunkt ſei F, die 3 gegebenen Punkte des Umfangs Pu P, P. Der geſuchte 2. Brennpunkt ſei X, die große Achſe 2a. Es muß dann ſein: XP+ FP = XP,+ FP,= XP,+ FP,= 2 a. Wir legen um Pr P P als Mittelpunkte Kreiſe, die durch F gehen und welche die Verbindungslinien XPi, XP, XP, in den Punkten B 1 B B. ſchneiden. Dann iſt XxB= XB,= XB, und X iſt alſo der Mittelpunkt eines Kreiſes, der die 3 Kreiſe P P. P, in den Punkten B1 B. B cinhüllend berührt. Gelingt es uns, dieſen Kreis zu zeichnen, ſo iſt ſein Mittelpunkt der geſuchte 2. Brennpunkt und ſein Radius die große Achſe.
Im Jahresberichte 1901 habe ich eine einfache Löſung des uralten Problems„einen Kreis zu zeichnen der 3 gegebene Kreiſe berührt“ gegeben“). Danach zeichnen wir zunächſt die äußere Aehnlichkeitsachſe, ziehen von dem Aehnlichkeitspunkte A, der Kreiſe Pi und P. eine beide Kreiſe ſchneidenden Aehnlichkeitsſtrahl, wählen auf dieſer 2 inversliegende Punkte Ci und Ce und verbinden Ci mit dem Aehnlichkeitspunkt A der Kreiſe Pi und Pz. Der zu Cz invers⸗ liegende Schnittpunkt mit P. ſei Cz. Nun legen wir durch CI Ca Cz den Hülfskreis H Dieſer hat mit dem geſuchten Kreis X gleiche Potenz in An und 4*. hat alſo mit ihm die äußere Aehnlichkeitsachſe zur Potenzlinie. Nun ziehen wir die nernefafrren Sekante der Kreiſe H und Pr. Sie trifft A Ae in dem Potenzpunkt Q der 3 Kreiſe H, Pu und X. Durch dieſen muß die gemeinſame Tangente im Berührungspunkt B) der Kreiſe X und Pu gehen und umgekehrt liefert die von Q an Pu gezogene Tangente den geſuchten Berührungspunkt B1.
In unſerm beſondern Falle geſtaltet ſich die Zeichnung ſehr einfach, wenn wir als Hülfs⸗ kreis den Punkt F aunehmen, in welchem ja 3 inversliegende Punkte zuſammenfallen. Die gemeinſame Sekante von H und P; wird zur Tangente von Pi in P. Dieſe treffe die Aehnlichkeitsachſe in Q. Mit OF beſchreiben wir um Q den Kreis, welcher P. in dem Berüh⸗ ruhrungspunkt B trifft. Wir ziehen P. B1 und fällen von F auf A, A die Senkrechte. Ihr Schnittpunkt mit P. B iſt der geſuchte Mittelpunkt X des K Kreiſes, alſo der 2. Brennpunkt und XIB, die große Achſe.
Die Aufgabe geſtattet folgende Verallgemeinerung: Einen Kegelſchnitt zu zeichnen, der durch 3 gegebene Punkte geht und einen gegebenen Punkt zum Brennpunkt hat. In dieſem Falle müſſen wir, um alle Löſungen zu erhalten, ſämtliche Kreiſe ziehen, die die Kreiſe P. Pa P berühren. Im allgemeinen ſind es deren 4 und von den 4 entſprechenden Kegelſchnitten ſind 3 Hyperbeln. Der 4. kann eine Ellipſe, Hyperbel oder Parabel ſein.
9. In ein ſpitzwinkliges Dreieck eine Ellipſe zu beſchreiben, die den Schnittpunkt H der Höhen zum Brennpunkt hat.(Fig. 12)
Die zum Schnittpunkt zweier Tangenten gezogenen Brennſtrahlen bilden bekanntlich mit den Tangenten gleiche Winkel. Spiegelt man daher die 3 Höhen des Dreiecks gegen die zuge⸗ hörigen Winkelhalbierenden, ſo gehen ihre Spiegelbilder durch den zweiten Brennpunkt. Dieſer
*) Vergleiche: Weber und Wellſtein: Encyklopädie der Elementar⸗Mathematik, Band II§ 24, 11 und: Killing und Hoveſtadt: Handbuch des mathematiſchen Unterrichts, Band I§ 29, 8.