ziehen wir die Grade y= arc(2 X— 120) und tragen die Werte von sin 90°, 100°, 1100°, 120° ein und verbinden die erhaltenen Punkte. Nach der Zeichnung liegt zwiſchen 110° und 120°. Den genaueren Wert beſtimmen wir nach der regula falsi. Wir errichten in den Punkten 110 und 120 die Senkrechten, welche die Arkuslinie in A und B, die Sinuslinie in C und D treffen.

Iſt nun der Abſtand des Schnittpunktes von AC, alſo 1000° ☛ ₰ der geſuchte Wert von x, ſo iſt, wenn wir die Sinuslinie in den Bereich von 110° und 1200° als grade Linie

fraſſen: 4-— 40= AC. 10. auffaſſen: 10 A= oder △ 6 BD Nun iſt 1) y= arc(220— 180)= arc 40= 0,698 F= sin 118= 0,940

alſo AC= 0,242 2) y= arc(240— 180)= arc 60= 1,047 y sin 1209= 0,866 alſo BD= 0,181 : 0,242.10 folglich X= 6,242 0,181 5,8

Mithin iſt der wahre Wert X= 115,8 wie die Probe beweiſt. Bei der Feſtſetzung der letzten Stelle beachte man, daß der Schnittpunkt etwas entfernter liegt als die regula falsi angibt. In zweifelhaften Fällen iſt die letzte Stelle alſo zu erhöhen.

6. Die Artilleriſten Methode.

Unter dieſem Namen benutze ich die regula falsi bei der Behandlung von Text⸗Gleichungen, zu deren Löſung ſie in früheren Zeiten vielfach angewandt wurde.

Von allen Methoden, die zur Aufſtellung der Gleichung empfohlen werden, führt nur eine einzige ſtets zum Ziel. Man nimmt eine beliebige Zahl als Löſung an und macht die Probe, ob es ſtimmt. Iſt die Zahl richtig, ſo erhalten wir eine Gleichung, andernfalls eine Ungleichung. Dann erſetzen wir die angenommene Zahl durch x und führen noch einmal dieſelbe Rechnung durch. Dann ergibt ſich von ſelbſt die geſuchte Gleichung.

Nun haben wir im Grunde genommen, eine überflüſſige Rechnung gemacht, ferner kann man nicht erkennen, ob die angenommene Zahl zu groß oder klein war. Kann nicht die ein mal gemachte Rechnung zur Erhaltung der richtigen Zahl benutzt werden?

Ein Beiſpiel. Die erſte Ziffer einer 6 ziffrigen Zahl iſt 1. Schneidet man dieſe Ziffer vorn ab und ſetzt ſie rechts wieder an, ſo wird die Zahl 3 mal ſo groß. Wie heißt die Zahl?

Wir nehmen für die unbekannten 5 letzten Ziffern eine beliebige Zahl an, etwa 12345 und machen die Probe: die 6 ziffrige Zahl iſt dann 112345, ihr 3 faches 337035; dies iſt falſch; es müßte herauskommen 123451. Wir haben das Ziel nicht getroffen, der Abſtand beträgt 213584. Auch die Artillerie trifft nicht immer beim erſten Schuß, erſt der dritte muß ſitzen. Wir ſtellen daher— bildlich geſprochen— das Viſier anders, etwa höher um eine beliebige Zahl etwa 10. Dann lautet die Zahl 112355, ihr 3 faches 337065. Auch dies ſtimmt nicht, es müßte 123551 herauskommen. Die Entfernung vom Ziel beträgt: 213514. Aber wir ſind dem Ziel um 70 näher gekommen, dadurch daß wir das Viſier um 10 erhöhten, das macht bei einer Erhöhung um 1 gerade 7. Um alſo noch den Abſtand 213514 zu überwinden, müſſen wir die Zahl 112355 um 213514: 7= 30502 erhöhen, dies gibt die richtige Zahl 142857 wie die Probe beweiſt.