— 10—

Warum hat die algebraiſche Löſung nicht zu dieſem ſchönen Ergebnis geführt? Verſuchen wir daher es noch einmal an der Hand der gefundenen Löſung. Es ſei wieder AD= X dann iſt DVV= 2 x und CD= s— 2 x, alſo iſt wieder:.

b2= X2+(8— 2 x) ²2= 5 X²2— 4sX+: s:.

Die Gleichung an ſich war gut, ihre Löſung aber ſchlecht und wie dieſe Gleichung ſchön zu löſen iſt, das lehrt uns nachträglich die mit Hülfe der Trigonometrie gewonnene Zeichnung, die zugleich geometriſche Löſung der Gleichung iſt. Aehnliche geometriſche Löſung geſtattet die Gleichung:

b2= xX²+ G-Ihn x) ²=(n²+. 1) X*— 2ns x P s:.

Im Fallemn= 1 erhielte man die Löſung der Aufgabe, ein rechtwinkliges Dreieck zu konſtruieren aus der Hypotenuſe b und der Summe der Katheten a ece= s und zwar genau in der üblichen Form.

5. Die Keplerſche Aufgabe.

Die graphiſche Darſtellung ſteht zur Zeit im Vordergrund des Intereſſes. In erſter Linie dient ſie zur Veranſchaulichung des Verlaufs von Funktionen, dann aber auch zur Löſung von Aufgaben. Die Aufgaben, die mir bisher zu Geſicht gekommen ſind, leiden faſt insgeſamt an mehreren Mängeln. Entweder wird die Löſung zu umſtändlich dadurch, daß eine größere Anzahl von Punkten durch Rechnung feſtgelegt werden muß, ſo daß die gewöhnliche Löſung ſchneller zum Ziele führt, oder daß die Ordinaten in anderem Maßſtab als die Abſziſſen auf⸗ getragen werden müſſen, wenn das Zeichenblatt ausreichen ſoll, oder aber— und das iſt das ſchlimmſte— ihr Inhalt vermag das Intereſſe nicht zu feſſeln. Hier bietet nun die Berechnung des Kreiſes einige, allerdings nicht zahlreiche ſchöne Aufgaben, von denen ich die„Keplerſche“ ihres Namens wegen herausgreife..

„Einen Halbkreis von einem Punkte des Durchmeſſers aus in einem vorgeſchriebenen Verhältnis zu teilen“.(Fig. 5) Wir ſpezialiſieren. Der Durchmeſſer des Kreiſes ſei AB, ſein Mittelpunkt C, der gegebene Punkt D liege in der Mitte von AC und das gegebene Verhältnis ſei 1: 1. Der geſuchte Punkt X des Umfanges iſt beſtimmt durch den Zentriwinkel AC X= x. Dieſen wollen wir berechnen. Wir bezeichnen den zum Zentriwinkel«im Einheitskreis gehörigen Bogen mit arc a. Es iſt arc«+ arc= arc(a+ 9) und n arc= arc n d. Das

Stück AD X ſoll die Hälfte des Halbkreiſes, alſo= ſein. Nun iſt ADX= Sektor

ACX— Dreieck DCX alſo.- SF.—— 1 oder: 2 arc x— sin X= oder 2 are x—. ü= sin. Nun iſt 2 arc x= are 2 x;= arc 180°, alſo: arc (2 X— 180)= sin x.

Wir zeichnen nun 2 Kurven. 1) y= arc(2 x— 180°), 2) y= sin x; die Abſziſſe des Schnittpunktes iſt das geſuchte x.(Fig. 6) y= arc a iſt ſtets eine gerade Linie, denn wächſt a um je einen Grad, ſo ſteigt y ſtets um die gleiche Größe are 1. Zur Feſtlegung von y= arc(2— 180 ⁰) genügen alſo 2 Punkte. Wir wählen 1) x= 900 dann iſt v o. 2) X= 120: y= arc(2400— 180)= arc 600= 1,047. Da sinus den Wert 1 nicht überſteigt, liegt das geſuchte x zwiſchen 90° und 120° und die Zeichnung braucht ſich bloß auf dieſen Raum zu erſtrecken. Wir tragen auf einer wagrechten Grade gleiche Teile ab und ſetzen an dieſe die Zahlen 90°, 100⁰°, 110°, 120⁰. In„90“ erreichen wir die Senk⸗ rechte, tragen auf ihr gleiche Teile ab und ſetzen an ſie die Zahlen 0,1, 0,2 bis 1,1. Nun