— 2— h ² Es iſt: sin(4—)= ree Nun iſt: Pp— q= 4 und 2r he= a b 34.„(al-b“) he. a sin a Daraus folgt ohne weiteres sin(a— 5)= da s und

c= h ſcot+ cot g., ſo erhält man gleichzeitig die Löſung der Aufgabe: die Winkel a und 5 zu beſtimmen aus: sin α: sin β= m:n und cos«+ cos β= s. Aehnliche Aufgaben ſind: u, v, he; u, v, me und c, me, a: b.

4. Ein gleichſchenkliges Dreieck zu konſtruieren aus dem Schenkel b und der Summe von Grundlinie und Höhe c+ h= s.(Figur 4)

Die Löſung iſt für den, der ſie kennt, eigentlich ſelbſtverſtändlich, entzieht ſich aber trotzdem oft dem Spürſinn ſelbſt des geübten Geometers. Wir wollen den letzten Fall annehmen und verſuchen als das nächſtliegende, die Löſung

durch algebraiſche Rechnung zu erzwingen. Wir ſetzen 2 ü= x alſoh= s— 2 x und erhalten:

b2= X2+(s— 2 x) ²= 5*48X f. S25 X 2 2 s t E 5bz s 5 25 Daraus kann man auf mühſame Weiſe x und ſomit das Dreieck konſtruieren. Aber es iſt keine befriedigende Löſung, es fehlt ihr die Evidenz der Richtigkeit, die nur durch Rech⸗ nung nachgewieſen werden kann. Darum verſuchen wir es mit der Trigonometrie.

Es iſt: h= b cos 4 2= b sin 4 alſo b cos 2+ 2 b sin 5— s. Wir ſetzen . 21„H b. b= sin und 2 b= 7 cos alſo tg= 3 und 7 enh: Es folgt: 1 j 7 j 2.—! 8. j ³)—. 71 Lsin P cos 2+ as sin 21=s oder: e sin(*† 2 s oder:

1 2 dn 6 9)— s Dadurch iſt †—. ³ und damit ³ beſtimmt. sin b. 2 Nun überſetzen wir die trigonometriſche Löſung ins geometriſche. Wir beſtimmen zunächſt

+ 9*, indem wir ein beliebig großes rechtwinkliges Dreieck UVW zeichnen, in welchem die

Kathete UV doppelt ſo groß iſt als die Kathete UW. Dann iſt X½ V= 9, denn tang V= 1

2 . an„ 3) Nun gehen wir an: 5— An—; dies iſt die Form des Sinusſatzes. Wir zeichnen

alſo ein Dreieck mit den Seiten s und b und dem der Seite b gegenüberliegenden Winkel 9. Dann iſt der zweite s anliegende Winkel 2. Wir tragen daher auf VU s= VO ab und

beſchreiben um C mit b den Kreis, der den Schenkel WV in A ſchneidet. Die von A auf CV gefällte Senkrechte AD trifft den Kreis im Eckpunke B. Die Richtigkeit der Löſung iſt evident und bedarf kaum eines Beweiſes. Sie geſtattet nunmehr das direkte Ableſen der trigono⸗ metriſchen Löſung aus der Figur.