ergeben ſich ſofort die entſprechenden Formeln für cot und cot 2 Sie dienen bekanntlich dazu,

die Winkel eines Dreiecks aus den Seiten zu berechnen. Für die numeriſche Rechnung ſind die Formeln nicht geeignet, weil s— a, s— b, s-— ſtets ihre Plätze wechſeln. Daher ſchreiben wir:

-- s.(6— a)*— 8 cot—(S— a)(s— b)(s— c) G-) 1(s— a)(s— b)(s— c)

Dadurch haben wir den Ausdruck in 2 Faktoren zerlegt, von der eine bei allen Winkeln konſtant iſt, der andere ſich aber ändert. Welches iſt nun die Bedeutung des Wurzelfaktors? a s— a/ 8 1 Nach Formel 1) iſt: cotz= e; alſo iſt 1 GG=WJ n Die numeriſche Berechnung der Winkel kann wieder geſchehen, ohne daß ein Logarithmus mehr als einmal hingeſchrieben wird. Dadurch rechtfertigt ſich auch die Bevorzugung der Cotangente vor der Tangente in den Formeln für°. Außerdem wird beſonders die Formel 1 durchſichtiger, G 2

Aus dem gewonnenen Ausdruck für 1 ergibt ſich endlich in Verbindung mit der Formel

J= Os: J= 7s(s— a)(s— b)(s— c). Damit iſt auf die einfachſte Weiſe die wichtige Formel gefunden, deren geometriſche Ab⸗ leitung aus dem Pythagoreiſchen Lehrſatz eine umſichtige Rechenarbeit erfordert.

weil s—a und coté in demſelben Sinne bei wachſendem a ſich ändern.

5. Ein Dreieck zu berechnen aus c, hc, a: b.

Die geometriſche Löſung dieſer hübſchen Aufgabe fehlt in keinem Lehrbuch, ihre trigono⸗ metriſche Löſung ſucht man aber meiſt vergebens. In der Tat bietet die rein trigonometriſche Löſung Schwierigkeiten, die nur durch Kunſtgriffe überwunden werden können, die ſich aber von ſelbſt heben, wenn wir die bekannte geometriſche Löſung Schritt für Schritt rechnend ver⸗ folgen.(Fig. 3).

Wir teilen AB=C nach innen und außen in dem gegebenen Verhältnis a: b. Die Teil⸗

. 1 b b punkte ſeien Dund E. Es iſt dann ADd= 2 und AE= a— be, alſo DE= ain c. Nun beſchreiben wir über DE als Durchmeſſer den Kreis, ſein Radius iſt 2-b. G

al— b²

ſein Mittelpunkt ſei N— und ziehen im Abſtand he zu AB die Parallele, welche den Kreis in C trifft. Wir ziehen noch CE, CN, CA, CD, CB und CF 1 AB. Von dem rechtwinkligen Dreieck CNF ſind dann CN und CF gegeben und damit der Winkel N. Dieſer iſt aber als Zentriwinkel das doppelte des Winkels E, dieſer aber iſt gleich dem Winkel FOD —3(.‧— 9); alſo iſt ½ N= a-— und es folgt: sin(4— S)= 8— Kanfhe

. a b c;

die Fortſetzung geſchieht am einfachſten mit dem Tangentenſatz:

tg— ttg—(b+ c):(b— c) und weiter a= hes;— he.

. 1n SIin G

Nachdem wir einmal das richtige Endreſultat kennen und namentlich wiſſen, daß es ſich

um die Berechnung von sin(.‧+— 6) handelt, iſt die direkte trigonometriſche Ableitung ſehr einfach.