— 12—

War das nicht vielleicht ein Zufallstreffer? Wir machen die Rechnung noch einmal mit andern Zahlen, aber ſparſamer Weiſe mit den denkbar einfachſten O und 1. Und auch hier ſitzt der 3. Schuß. Die regula fualsi iſt auf die Gleichungen I. Grades beſchränkt. Der innere Grund iſt dieſer. Wie immer wir auch die Gleichung anſetzen, ſtets ſtellt jede Seite der Gleichung für ſich in graphiſcher Darſtellung eine grade Linie dar. An was für 2 Punkten wir auch immer einſchneiden, immer gibt die regula falsi die richtige Löſung, mögen die beiden Punkte liegen wie ſie wollen.

7. Einige Aufgaben über harmoniſche Punkte.(Fig. 7.)

Es ſeien ABCD Penid iie Peii alſo AB: CB= AD: CbD; dann iſt bekanntlich d2= ee wede,s renl efs AC=S B B BA Iſt ferner M die Mitte von AC, ſo iſt nud= MO?*= MB. MD. Der Kreis um M mit MA ſchneidet alſo jeden durch B und D gehenden Kreis rechtwinklig.

Es ſei nun AC der Größe nach, BD der Größe und Lage nach gegeben. Es ſoll nun AC= m ſo auf BD gelegt werden, daß A und C durch B und D harmoniſch getrennt ſind.

Es ſei O die Mitte von BD. Wir ziehen BE= 2 ſenkrecht BD, tragen OE= OM

2

auf OB ab und von M aus nach beiden Seiten 2 ab. Die Endpunkte ſind die geſuchten Punkte

A und C. Denn beſchreibt man um O mit OB den Kreis, ſo iſt BE= 2 Tangente dieſes Kreiſes. Wegen OE= OM hat aber die von M an den Kreis gelegte Tangente die Länge m Es iſt alſo:(2):== MA== MC== MB. MD.

2 Nun einige Anwendungen.(Fig. 8) Die Halbierungslinien des Winkels„ und ſeines Nebenwinkels treffen die Halbierungslinie AD des Winkels« in O, dem Mittelpunkt des Inkreiſes, und O:, dem Mittelpunkt des zur Seite a gehörigen Ankreiſes. Es ſind dann A O D0 harmoniſche Punkte. Iſt E die Mitte von 00— M liegt bekanntlich auf dem Umkreis— ſo iſt EO*= EO 21= EB2= EC2= ED. EA. Daraus folgt die Löſung der Aufgabe: Ein Dreieck zu zeichnen aus: a,«, mo, wo ma die Halbierungslinie des Winkels a iſt, denn durch a und a iſt EB= EC= EO= co, gegeben. Wir projezieren nun die 4 harmoniſchen Punkte A 0 D 0 auf die Höhe AHl. Die Fußpunkte der projezierenden von O und 02 ſeien J und K. Dann ſind auch A J H K harmoniſche Punkte. Nun iſt HIJ= o und li— L4 alſo: 2 f. 2 ris 5 Die Halbierungslinien der Winkel„ und ſeines Nebenwinkels treffen die Halbierungslinie AF des Außenwinkels von a in O. und 03. Es ſind auch F, O, A, O0 harmoniſche Punkte;

projezieren wir dieſe wieder auf AH, ſo ergibt ſich:

Aus beiden Gleichungen folgt: