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IV. Konſtruktion von Kreiſen, die einen oder mehrere gegebene Kreiſe rechtwinklig, bezüglich unter dem Durchmeſſer ſchneiden.
Wenn ein Kreis X einen gegebenen Kreis K mit dem Radius 1 rechtwinklig ſchneidet, ſo iſt ſeine Potenz im Mittelpunkte von K=+ r?, wenn X den Kreis K unter dem Durchmeſſer ſchneidet, =— ré?. Artet der Kreis in einen Punkt aus, ſo kann ein durch dieſen Punkt gehender Kreis ſo⸗ wohl als ein rechtwinklig als ein unter dem Durchmeſſer ſchneidender Kreis betrachtet werden. Seine Potenz iſt in dem Punkte= O. Den Fall, in welchem der Kreis K zu einer Geraden wird, ſchließen wir von unſerer Betrachtung aus. 3
Von dieſem Geſichtspunkte aus beſteht kein weſentlicher Unterſchied zwiſchen beiden Arten von Kreiſen und wird daher im folgenden auch nicht gemacht werden.
Zur abkürzenden Bezeichnung, daß ein Kreis K in einer der beiden Arten geſchnitten werden ſoll, möge das Zeichen Kp dienen. Ferner ſollen Kreis und Mittelpunkt durch denſelben Buchſtaben dargeſtellt werden.
. Da zur Konſtruktion eines Kreiſes, deſſen Mittelpunkt nicht gegeben iſt, 3 Beſtimmungsſtücke erforderlich ſind, ſo erhält man 3 Gruppen von Aufgaben.
1) Es ſind 3 zu ſchneidende Kreiſe gegeben: Kp Kp Kp. Je nachdem 1 oder 2 Kreiſe in Punkte ausarten, erhält man die Spezialfälle: Rp Kp P und Kp P P.
2) Es ſind zwei zu ſchneidende Kreiſe gegeben, als drittes Stück eine zu berührende Gerade oder ein Kreis. Kp Kp L, Kp Kp K mit den Spezialfällen Kp P L, Kp P K.
3) Es iſt ein zu ſchneidender Kreis K gegeben. Die übrigen Stücke ſind zu berührende Geraden oder Kreiſe. Man erhält die Aufgaben: Kp L. L, Kp L K, Kp K K. Für Kp= P er⸗ hält man Spezialfälle des Berührungsproblems. Wir wollen aus jeder Gruppe eine Aufgabe heraus⸗ greifen.
1) Kp Kp Kp.
Die gegebenen Kreiſe ſeien K Ke Ka. Es gibt unendlich viele Kreiſe, welche Ki und Ka in der vorgeſchriebenen Weiſe ſchneiden. Da alle dieſe Kreiſe in K und Ko die gleiche Potenz haben, ſa iſt Ki Ke die gemeinſame Potenzlinie derſelben. Schneidet alſo einer dieſer Kreiſe K Ka, ſo ſchneiden alle Kreiſe K. Ka in denſelben Punkten. Dies iſt immer der Fall, wenn einer der Kreiſe Ki und Ka unter dem Durchmeſſer geſchnitten wird. Die Mittelpunkte aller ſchneidenden Kreiſe liegen auf einer Senkrechten zu K Ka; dieſe Gerade iſt demnach beſtimmt durch den Mittelpunkt eines Kreiſes H von der verlangten Eigenſchaft. Einen ſolchen Kreis beſtimmt man am einfachſten, indem man ſeinem Radius einen beſtimmten Wert o beilegt und beachtet, daß der Ort für die Mittelpunkte aller Kreiſe mit dem Radius o, welche einen Kreis Ki in der vorgeſchriebenen Weiſe ſchneiden, ein mit K conzentriſcher Kreis iſt.
Man zeichne daher einen Hülfskreis Hder K. und K, in der vorgeſchriebenen Weiſe ſchneidet und fälle von H auf K. K, die Senkrechte. Ebenſo zeichne man einen zweiten Hülfskreis Hi der K. und K, in der verlangten Weiſe ſchneidet und fälle von Hi auf K. K, die Senkrechte. Der Schnitt⸗ punkt beider Senkrechten iſt der Mittelpunkt des geſuchten Kreiſes X. Um dieſen Punkt beſchreibe man den Kreis, der K, in der vorgeſchriebenen Weiſe ſchneidet. Derſelbe hat dann auch in Bezug auf K. und K, die geforderten Eigenſchaften.
Beweis. X und II haben in Ka gleiche Potenz. Da nun K, K, L XH iſt, ſo iſt K. K. die Potenzlinie von X und IH.