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Man lege durch Pi und Pæ einen beliebigen Kreis H, ziehe von dem Schnittpunkt Q der Geraden L und Pu Pe an H die Tangente und trage ſie von Q aus auf I. ab. Ihr Endpunkt liefert den geſuchten Berührungspunkt.
3) P I. I.
Dieſe Aufgabe fügt ſich nur widerwillig der allgemeinen Löſung und nur der Vollſtändigkeit wegen wollen wir ſie in dem Rahmen derſelben behandeln.
Wir gehen von einem Kreiſe aus, der ganz in dem Winkelranm der beiden Graden liegt. Die beiden in Betracht kommenden ÄAhnllichkeitsachſen ſtehen ſenkrecht auf der Halbierungslinie des Winkels. Schrumpft nun der Kreis zu einem Punkt zuſammen, ſo fallen die beiden Ahnlichkeitsachſen zuſammen, ihre Richtung aber bleibt. Wir legen wieder den Hülfskreis H ſo, daß die Ähnlichkeits⸗ achſe, in dieſem Falle alſo die von P auf die Halbierungslinie des von den Geraden Li und I. ge⸗ bildeten Winkels gefällte Senkrechte Potenzlinie von H und X wird. Da der Mittelpunkt von X auf der Halbirungslinie liegt, muß auch der von II auf dieſer Linie liegen. Da ferner X durch P gehen ſoll, ſo muß auch H durch dieſen Punkt gehen. Der weitere Verlauf führt nun zu der⸗ ſelben Löſung, die man kürzer erhält, wenn man die Halbierungslinie des Winkels als Symmetrie⸗ achſe des geſuchten Kreiſes auffaßt. Es geht dann der geſuchte Kreis durch den Spiegelpunkt von P in Bezug auf die Halbierungslinie und es iſt nun der Kreis zu zeichnen, der durch 2 Punkte geht und eine der gegebenen Geraden berührt.
Zum Schluſſe ſei noch einer Anwendung der Aufgabe P P K gedacht, die bei der ſynthetiſchen Behandlung der Hyperbel vorteilhaft zur Geltung kommt.
Eine Hyperbel ſei durch ihre Brennpunkte Fi und Fa und durch ihre Achſe 2 a gegeben. Es ſollen ihre Schnittpunkte mit einer gegebenen Geraden G beſtimmt werden.(Fig. 4.)
Es ſei X der geſuchte Schnittpunkt. Wir verbinden X mit F und Fa und beſchreiben mit XFi um X den Kreis, der X Fa in A ſchneidet, ſo daß F⸗ A= 2a iſt. Der Kreis X berührt alſo den Kreis, den man um Fa mit 2 a beſchreibt. Da G Centrale des Kreiſes X iſt, ſo geht X durch den Spiegelpunkt B von F in Bezug auf G. Die Aufgabe iſt alſo darauf zurückgeführt: einen Kreis zu beſchreiben, der durch 2 gegebene Punkte geht und einen gegebenen Kreis berührt.
Einſchränkung. Da ſtets Fi Fg= La ſein muß, ſo liegt Fraußerhalb des Kreiſes um F.
1) Liegt B innerhalb des Kreiſes um Fa, ſo erhält man keine Löſung.
2) Liegt B auf dem Kreiſe, ſo erhält man eine Löſung.
Die Gerade G wird Tangente und halbiert den Winkel der beiden Brennſtrahlen. Iſt dabei Fi B Tangente, ſo artet der Kreis X in die Gerade FI B aus, der Mittelpunkt X rückt auf G ins unendliche, G wird Aſſymptote. G geht durch den Mittelpunkt von Fi Fe und ihr Neigungswinkel gegen die Achſe iſt beſtimmt durch: sin«= Z 3 oder tg= 4—Ä
3) Fällt B außerhalb des Kreiſes um F ſo erhält man 2 Schnittpunkte. Einer davon fällt ins unendliche, wenn B Fa wieder Tangente iſt. G iſt alsdann parallel einer Aſſymptote.
Dieſer Determination kann noch eine andere Faſſung gegeben werden. Man beſchreibe um die Mitte O von Fi F den Kreis mit a und fülle von Fi auf G die Senkrechte. Ihr Fußpunkt ſei C. Da FI Ähnlichkeitspunkt der Kreiſe um Fe und O iſt, ſo ſind B und C ähnlich liegende Punkte in Bezug auf beide Kreiſe. Wir erhalten daher folgende Einſchränkung:
Eine Gerade vermeidet, berührt oder ſchneidet die Hyperbel, je nachdem der Fußpunkt der von einem Brennpunkt auf ſie gefällten Senkrechten innerhalb, auf, oder außerhalb des um den Mittel⸗ punkt der Hyperbel mit der halben Achſe beſchriebenen Kreiſes fällt.