— 18—

bd den Bogen ac. Die Bögen zwiſchen parallelen Geraden ſind einander gleich.—„Man ſieht, na eine oder beide Geraden auch Tangenten ſein dürfen.

) Die Geraden ab und od ſchneiden ſichꝛtim Centrum. Die Winkel, welche die Geraden bilden, werden Centriwinkel des Kreiſes genannt. In gleichen Centriwinkeln liegen gleiche Bögen, weil dieſe ſich mit dem Centriwinkel decken, und umgekehrt liegen gleiche Bögen in gleichen Centriwinkeln.— Die Bögen verhalten ſich wie die dazu gehörigen Centriwinkel. Man trage(Fig. 16) den mten Theil des Bogens u'b’ auf ab, ſo oft als es gehe, und ziehe die Radien durch die Thei⸗ lungspunkte von ab und ab“, ſo werden die Winkel in ebenſoviele unter ſich gleiche Theile getheilt wie die Bögen, und es bleibt von dem Bogen ab, wie von dem Winkel aob ein Reſt, welcher ſo klein gemacht werden kann, als man will. Dieſelbe Betrachtung, wie bei den proportionalen Linien, zeigt daß dann immer: Winkel aob: alob== Bogen ab: a'b“ ſetzen kann. un 10 t

Theilt man den Umfang des Kreiſes in 360 gleiche Theile, und nennt einen ſolchen einen Grar, ſo enthält der Bogen ſo viele Bogengrade, wie der dazu gehieige Centviwinſet We graben. Man dehraucht den Bogen als Maaß des Winkels.

„) Die Geraden ſchneiden ſichirgendwo im Kreiſer Verſebt man(Fig. 17) die beiden ſich im Kreiſe ſchneidenden Geraden ab und ed parallel zu ſich nach ab’ und*d, ſo bleiben die Winkel zwiſchen denſelben gleich. Es nimmt der Bogen amd um die Stücke aa“ und dd' zu, der Bogen em'b dagegen um co“ und bb’ ab. Nun iſt aber aa= bb’ und cc’= bb'; es iſt dann amd † cem’d== amd+ m b“, und damit auch ac †bdn=s alc b’d. Die Summe der Bögen in den Scheitelwinkeln bleibt dieſelbe, wie man auch die Geraden verſetze. Setzt man den Schnitipunkt der Geraden in's Centrum, ſo betragen die Bögen ac † bd ſo viele Grade wie die Scheitelwinkel a00+ bod, und man kann ſagen: Zwei Geraden, welche ſich in einem Kreiſe ſchnei⸗ den, theilen den Umfang derſelben ſo in 4 Bögen, daß je 2 gegenüberliegende Bögen zuſammen ſo viele Grade betragen, wie die beiden Scheitelwinkel, in welchen ſie liegen. Umgekehrt hat ein Winkel zwiſchen zwei Sehnen die halbe S Sunnit der Grade welche die Wüüei Haben welche in ihm und ſeinem Scheitelwinkel liegen. lbmn

4) Die Geraden fhneiven fis anf dem Umfange; es wird der Winkel Umfangs⸗ oder Peripheriewinkel genannt. Alsdann ändert ſich Nichts, als daß der Bogen in dem einen der Scheitelwinkel Null iſt(Fig. 18). Der Bogen ac“ iſt gleich ae+ bd, oder er hat doppelt ſo viele Grade, wie der dazu gehörige Winkel a⸗d“c“, und dieſer i hüm ſo groß, wie ein Gentriiſte welcher auf demſelben Bogen a'de“ ſteht.

Iſt hier eine der Geraden Tangente, ſo bleibt Alles dasſelbe.

³) Die Geraden ſchneiden ſich außerhalb des Kreiſes.(Fig. 19.) Verſetzt man die eine Gerade ab parallel zu ſich nach da', ſo daß ſie die andere ed in dem Umfange trifft, ſo bleibt der Winkel zwiſchen den Graden derſelbe. Es iſt db= a¹a“, und cat== ca— db. Wo alſo auch der Schnittpunkt der Geraden außerhalb des Kreiſes liege, immer bleibt der Unterſchied der Bögen zwi⸗ ſchen denſelben— ca“, und der Winkel zwiſchen den Secanten har t die Hälfte Grüßt wie der dinterſchicd, der beiden Bögen zwiſchen ſeinen Schenkeln.

Eine Gerade kann Tangente ſein, auch beide, und Nichts ändert ſich.

Betrachtet man den Bogen db, welcher ſeine convexe Seine diß Soheite des Winkels zuwendet, als negativ, ſo iſt der Satz allgemein: mi uin

Zwei Geraden ſchneiden einen Kreisnmfäng ſo in 4 Bzen, daß die Sunme der Bögen in 2 Sceitelwinkeln ſo viele Grade beträgt, wie die der Scheitelwinkel