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anne⸗Wird die Subtraction ſo Erfaßt; ſo iſ ſier eine ie aücun des Nullpunktes nach der einen oder der anderen Seite,ſ nninn nnchotog dimnpen a don d mat sig qum f

142. Bewegt ſich eine unbRgrendte Geraderi in einer Ebene ſo, daß ſſe immer durch einen und derſeben Punkt geht, ſo nennt man dieſe Bewegung eine Drehung, der zurückgelegte Weg i6 ein Winkel.— Wir ſehen, daß mit einem Winkel zugleich ſein Scheitelwinkel entſteht.—

Wenn im Allgemeinen von einem Winkel zwiſchen 2 Geraden die Rede iſt, ſo iſt zu iche de welcher von den 4 zwiſchen den Geraden liegenden Winkeln zu nehmen ſeien Im Falle die poſitiven Rich⸗ tungen der Geraden bekannt ſind, nennen wir, wenn Nichts weiter bemerkt wird, den Winkel zwiſchen den Schenkeln, welche vom Scheitel ab poſitiv gezählt werden, den Winkel der Geraden ſchlechtweg.— Nun iſt noch zweifelhaft, welches von den Schenkeln begrenzte Stück Ebene, ob oder 360 0a (Fig⸗ 6), den Winkel zwiſchen den Geraden darſtellt. Wenn aben der Winkel durch Drehung des einen Schenkels entſtanden iſt, genügt es die Richtung der Dechungia zu tonnen; um ſichn für den einen oder den anderen Winkel zu entſcheiden.—

So wird in der Feldmeßkunſt der Winkel einer„ Gerden mit, tden Meridian Gaas Asimurh) geme ſen ndane man auf dieſem die Richtung von Süd nach Nord als poſitiy betrachtet, und aus dieſer nach rechts dreht, bis man die Grade erreicht, deren oſüin nihen lhurehe einen beſtinmten Dahrft ge⸗ geben iſt. 1

Zählen wir einen Winkel poſitiv, der undurh entftanden i, naß fh ſein rechter Schenkel nach links dreht, bis er in die Lage des linken gelangt, ſo muß derjenige urgat 5 technen ſein, der durch eine enDfrhung von links nach rechts entſteht. mmmifm: 4

13. Die Addition oder Subtraction von poſitiven oder negu en Winkein geſchieht, analog der von. indem bei der Addition der linke und bei der Subtraction der rechte Schenkel nach links oder rechts gedreht wird, je nadem ein poſitiver oder negativer Winkel üdi der ſubtrahirt wer⸗ den ſoll. 84 0 1==

Geht bei einer Drehung die Gerade durch die Anfangslage in der Richtung von kehes nach links, ſo hat ſie bis dahin+† 360° zurückgelegt, in entgegengeſetzter Richtung— 360°, wenn auch inzwiſchen die Drehung mehrmals ihre Richtung geändert. Befindet ſich die Gerade nach m poſitiven und n nega⸗ tiven Durchgängen durch die Anfangslage um a links von der letzteren, ſo iſt der Winkel, welchen ſie während der Drehung beſchrieben,=(m— n) 360°+ ao.— CErfolgt die Drehung nicht immer durch denſelben Punkt, ſondern dreht ſich die Gerade nacheinander um verſchiedene in ihr liegende Punkte, ſo können wir alle Richtungen, welche ſie einnimmt, parallel mit ſich ſo verſetzen, daß ſte durch den erſten Drehpunkt gehen. Die Winkel zwiſchen denſelhen werden alsdann nicht geändert, und betragen (m— n) 360°+.— Wenn die Drehung in jedem Augenhlick durch einen anderen Punkt erfolgt, wenn ſie alſo jeden beliebige Bewegung, der Geraden in der Ebene vorſtellt, außer der parallelen Ver⸗ ſetzung, ſo wird immer der zurückgelegte Weg durch die Anfangs⸗ und Endrichtung dund durch die An⸗ zahl der Durchgänge durch die Anfangsrichtung in jedem Sinne ausdrückbar ſein.— Es ſei beniert, daß unter d. Vhen jede der Anfangslage parallele zu verſtehen iſt. en 1

Die Gräße von Geraden in verſchiedentn xagen.

14. Biden 2 Geraden rechte, Winkel, miteinander, ſo ſagt man, ſie ſtehen ſenkrecht aufeinander.

Die Senkrechte—— Schiefe.— Es iſt leicht zu zeigen, daß man in einem Punkte einer Geraden nur

eine Senkrechte errichten, und von einem Punkte auf eine Gerade nur eine Senkrechte fällen kann.

a) Hat man(Fig. 7) von einem Punkte o zur Geraden MN ie Senkrechte oa und die beiden Schiefen