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beſindet ſich ſo, als ob er ſich nicht bewegt habe. Wenn alſo die Bewegung von a nach b poſitiv gilt, ſo muß die von b nach a negativ gerechnet werden. Oder: Denkt man ſich mit den Fuͤßen auf der Ebene ſtehend, in welcher die Bewegung erfolgt, und den Punkt ſo bewegt, daß man ihm folgend ſich vorwärts bewegt, ſo wird, wenn bieſe Bewegung poſitiv gezählt wird, die Bewegung rückwärts negativ gerechnet werden. Das Reſultat der Bewegung, die endliche Entfernung von der Anfangslage, und damit die Bewegung ſelbſt, wird gemeſſen durch die Gerade zwiſchen der Anfangs⸗ und Endlage, und wir müſſen die Entfernung des Punkaes a von b als die enentgegengeſebte der Seffen ngen des Punkzes b von a nehmen..

11. Wir haben ſo einen Begriff für poſitive und negative Linien gewonnen, und 2 dit einfachen Operationen mit denſelben vornehmen.

Die Summe einer Anzahl poſitiver und negativer Geraden+ a— b.— 4 wirdef ge⸗ wonnen, indem man ſich den Punkt von einer gewiſſen Anfangslage an, auf einer unbegrenzten Gera⸗ den, nacheinander um a vorwärts, um b rückwärts, um cvorwärts, und um d rückwärts bewegt denkt. Die endliche Entfernung von der Anfangslage iſt die Summe der Geraden. Dabei kann es ſich ereignen, wenn die negativen Glieder für ſich größer ſind wie die poſitiven, daß ſich der Punkt rückwärts über die Anfangslage hinaus bewegt; wir ſehen, daß eine negative Gerade von der Anfangslage in der der poſitiven entgegengeſetzten Richtung gerechnet werden muß. 7

Denkt man ſich jeden Punkt einer unbegrenzten Geraden durch die Zahl bezeichnet, welche ſeine Entfernung von einem beſtimmten Punkte a in einem beſtimmten Maaße ausdrückt, ſo hat man auch umgekehrt für jede mögliche Zahl einen beſtimmten Punkt, und zwar auf der einen Seite des Punktes a für die poſttiven Zahlen, auf der anderen für die negativen. Der Punkt a entſpricht der Zal 0, er iſt

1 4. 1 -5- 4-3-2- 1 0+ 1+2 43 44 45 der Nullpunkt. Die Gerade heißt die Zahlenlinie. 1ouls 126

Die Addition iſt eine Vereinigung mehrerer Größen zu einer einzigen. Linien werden nach der

angegebenen Weiſe addirt. F Wollte man etwa+ a— b ſo darſtellen, daß man vom Rullpunkte aus a vorwärts und b rückwärts auftrüge, ſo hätte man 2 Entfernungen in entgegengeſetzter Richtung, die nicht eine einzige bildeten.

Die Subtraction iſt das Hinzufügen des eßerngizen Poſttive oder negative Geraden werden alſo ſubtrahirt, indem man eben ſo große negative oder poſitive addirt. Man kann aber auch die Subtraction ſo ausführen, daß man zuerſt die zu ſubtrahirende Größe zulegt, und dann ihre Natur ſo umkehrt, daß ſie eine eben ſo große derſelben Art zu vernichten im Stande iſt. ſ

Es ſei 4* a—(P+ b) zu bilden.— Man trage+ a nach mn und+ b nach mp, wo m der Nullpunkt iſt. Sodann kehre man mp um 9 P n in pm, ſo daß die Bewegung von p nach m gezählt werde, und daß ſie mit dem Theile von mn, welcher zwiſchen m uud p liegt, Null mache. Es bleibt die Entfernung von p nach n als Reſultat:+ pn= a— b.

Es ſei+ a—(— b) zu bilden.— Man ttage vom Nullpunkte m aus+ a nach mn und P m I

— b in n entgegengeſetzter Richtung nach wp. Alsdann kehre man mp in

pm um, ſo daß die Bewegung von p nach m gezäͤhlt werde, und daß ſie mit d der von m nac n eine einzige bilde. Dann iſt pn das Reſultat ̈ũ pp a. † b.