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„Wenn dieſe Aß nicht gerade wäre, ſo hätten alle Punkte derſelben nicht einerlei „Abſtand von DC, welches gegen die Annahme iſt. u. ſ. w.

Nachdem er ſeinen zweiten Satz:

„Wenn eine gerade Linie mit ihrem einen Endpunkte über eine andere gerade derge⸗ „ſtalt der Quere nach hinbewegt wird, daß ſie immer nit derſelben einen rechten Winkel „bildet, ſo wird der andere Endpunkt auch eine gerade Linie beſchreiben,“ aus dem erſten be⸗ wieſen hat, ſagt er weiter:

„Auch aus der Erklärung einer geraden Linie folgt dies ſchon. Wenn nämlich die zwei Punkte D und A „(die Endpunkte der Senkrechten) auf eine ähnliche, gleichförmige Art bewegt werden, ſo werden ſie auch ähnliche „Linien beſchreiben;... denn man kann ſich nicht denken, daß die Endpunkte einer geraden Linie, welche ſich „auf eine gleichförmige Art bewegt, zwei Linien hervorbrächten, die von verſchiedener Art wären.“...

Daß die hier gegebenen Umſchreibungen des Lehrſatzes keine Beweiſe ſind, geſteht Clavius ſelbſt dadurch, daß er, nachdem er den Satz 2 mit Hülfe von 9 bewieſen hat, gleich darauf den von 9 unabhängigen Beweis des Satzes 2 durch Fußpunktſenkrechte gibt, welchen wir oben ſchon kennen gelernt haben.

Der mit den Worten:„Wenn die AB nicht gerade wäre“ u. ſ. w. angedeutete indirekte Beweis ließe ſich

allerdings führen, wenn unſer Satz 10 vorher bewieſen wäre. Viele andere Verſuche den Satz 9 zu beweiſen habe ich im Folgenden möglichſt kurz zuſammenzufaſſen

geſucht.. 1—

Man denke ſich auf die oben von Clavius angegebene Weiſe eine Linie gebildet, welche von einer geraden Linie in allen ihren Punkten gleichen Abſtand hat. Wir wollen ſie Linie der Endpunkte nennen, da ſie gebildet wird durch den bewegten Endpunkt der an der geraden Linie hingeſchobenen Senkrechten, deren Anfangspunkt immer in der geraden Linie liegen bleibt. Um nun zu beweiſen, daß die Linie der Endpunkte eine gerade Linie ſei, näherte man eine der beiden Linien der anderen bis zum Zuſammenfallen des Anfangs⸗ und des Endpunkts einer der unendlich vielen gleichen Senkrechten und ſchloß, ohne immer die Art der Annäherung genau anzugeben, daß dann auch die Anfangs⸗ und die Endpunkte aller dieſer Senkrechten, d. h. die ganzen Linien zuſammenfallen müßten. Wir wollen ſehen, mit welchem Rechte dies geſchloſſen wird.

Rückt man eine der Linien gegen die andere, ſo kann dies entweder ſo geſchehen, daß die bewegte Linie mit derſelben Senkrechten immer gleiche Winkel bildet, oder ſo, daß die Puntte, in welchen ſie in jeder ihrer Lagen zwei Senkrechte ſchneidet, von den Anfangs⸗ oder den Endpunkten ihrer Senkrechten gleichweit entfernt ſind. In allen Fällen aber dürfen wir nur dann ſchließen, daß die bewegte und die ruhende Linie ſich decken müſſen, wenn wir nachweiſen können, daß alle Punkte, in welchen die unendlich vielen gleichen Senkrechten durch die bewegte Linie geſchnitten werden, von den Anfangs⸗ oder Endpunkten ihrer Senkrechten gleichweit entfernt liegen; d. h. wir müſſen, wenn die gegebene gerade Linie an einer Senkrechten ſo hingeſchoben wird, daß ſie mit ihr immer rechte Winkel bildet, den Satz 2, und wenn ſie ſo der Linie der Endpunkte genähert wird, daß ſie in jeder Lage durch von den Endpunkten gleich weit entfernte Theilpunkte der nämlichen zwei Senkrechten geht, den Satz 1 und 2 voraus⸗ ſetzen. Wenn aber die Linie der Endpunkte bewegt wird, ſo reicht dieſe Vorausſetzung nicht einmal hin; wir müſſen, um nur die Sätze 1 und 2 anwenden zu können, erſt wiſſen, daß die Linie der Endpunkte ſelbſt eine gerade iſt; wir müſſen alſo auch noch den zu beweiſenden Satz vorausſetzen.

Kircher ſtützt den Beweis des Satzes 9 auf den Zuſatz zu 10, den er mit folgenden Worten zu beweiſen ſucht.

„Es iſt unläugbar, daß die drei Scheitelpunkte eines Dreiecks nicht in gerader Linie liegen, und daß ſie „ungleich von einer geraden Linie entfernt ſind. Denn wenn man die Grundlinie eines Dreiecks auf die gerade