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„Linie legt, ſo iſt ihre Entfernung an den Endpunkten von der geraden Linie gleich Null. Da ſich aber die „Spitze immer über der Grundlinie befindet, ſo muß dieſelbe von der Grundlinie oder der geraden Linie immer „irgend einen Abſtand haben.“

Dies iſt richtig. Aber die Behauptung bedarf doch wohl eines Beweiſes, daß keine andere gerade Linie, welche von den Endpunkten der Grundlinie eines Dreiecks gleichweit entfernt iſt, auch ebenſo weit von der Spitze entfernt ſein könne.

Daß man den Beweis des Satzes 9 leicht indirekt führen kann, wenn man den Zuſatz zu 10 ohne Beweis als wahr annehmen will, brauche ich wohl kaum zu ſagen.

Simſon ſtellt, um den Satz 8 zu beweiſen, den zwölften oder vierzehnten und den elften unſerer Sätze als Grundſätze mit folgenden Worten nicht ſehr beſtimmt auf.

„Eine gerade Linie kann nicht anfangs ſich einer anderen geraden Linie nähern und dann von derſelben ſich „entfernen, ehe ſie dieſelbe durchſchneidet, und auf dieſelbe Weiſe kann ſich eine gerade Linie nicht von einer anderen „entfernen und dann ſich derſelben nähern(Satz 12 oder 14); eben ſo kann auch keine gerade Linie von einer „anderen immer die nämliche Entfernung halten und dann ſich derſelben nähern oder von ihr entfernen(Satz 11)“. Daß mit Hülfe der Sätze 11 und 12(oder 14) der Satz 8 leicht indirekt ſich beweiſen läßt, haben wir oben ſchon geſagt.

Diejenigen, welche, wenn auch nicht immer ſo offen wie Simſon, einen oder mehrere unſerer Sätze als Grundſätze, d. h. als Sätze, die keines Beweiſes bedürfen, annehmen, um mit deren Hülfe die anderen zu be⸗ weiſen, haben den engen Zuſammenhang, die gegenſeitige Abhängigkeit unſerer oben aufgeſtellten 14 Sätze nicht erkannt. Darum haben wir oben gezeigt, daß bei vorausgeſetzter Richtigkeit irgend eines der Sätze aus einer der beiden Gruppen die Begründung eines jeden anderen aus ſeiner ſowohl, als aus der anderen Gruppe leicht ſei, daß alſo alle dieſe Sätze ein vollkommen gleiches Gewicht haben. Hieraus folgt aber, daß wir eben ſo gut und eben ſo wenig berechtigt ſind den einen wie den anderen dieſer Sätze, ja wie jeden beliebigen anderen geometriſchen Satz als Grundſatz anzunehmen. Nun haben wir aber nachgewieſen, daß keiner dieſer Sätze ohne eine ſolche Annahme bewieſen werden kann. Daher müſſen wir auch alle die Verſuche die Parallelentheorie mit Hülfe eines dieſer Sätze zu begründen als mißlungen anſehen.

VI.

Es erübrigt uns noch zu zeigen, wie Diejenigen, welche einen oder mehrere unſerer 14 Sätze als erwieſen annehmen, die IV Hauptſätze der Parallelentheorie(S. Abſchnitt 1) begründen.

Betrachten wir zunächſt die Beweiſe des Satzes I.

Mit Hülfe des Satzes 5 läßt ſich derſelbe leicht indirekt beweiſen. Wenn nämlich zwei gerade Linien ſich ſchnitten, welche mit einer und alſo auch(nach 5) mit jeder ſie durchſchneidenden Linie gleiche correſpondirende Winkel bilden, ſo müßten ſie auch mit jeder durch ihren Durchſchnittspunkt gezogenen Linie auf derſelben Seite gleiche Winkel bilden.

Ein ſehr einfacher Beweis für den beſonderen Fall des Satzes I, wo beide durchſchnittene Linien auf der ſchneidenden ſenkrecht ſtehen, ergibt ſich aus unſerem Satze 2. Denn nach ihm ſind zwei gerade Linien, welche auf derſelben dritten ſenkrecht ſtehen, überall gleichweit von einander entfernt, können ſich alſo auch nicht ſchneiden.

Den erſten dieſer Beweiſe habe ich bei keinem von denen gefunden, welche mit Hülfe eines oder mehrerer unſerer 14 Sätze die Parallelentheorie zu begründen ſuchen. Dies erklärt ſich aber leicht daraus, daß auch der Satz ö ſelbſt von ihnen nie beſtimmt aufgeſtellt, ſondern nur gelegentlich einigemale erwähnt wird. Auffallender

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