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Daher müſſen auch nach 10 die Entfernungen der Punkte des erſten Zweiges von der zweiten geraden Linie kleiner, die der Punkte des anderen Zweiges aber größer ſein als die Senkrechte, durch deren Endpunkt die Ver⸗ bindungslinie gezogen wurde.—

Der Satz 8 folgt aus 13 indirekt.

14r Satz. Sind die von zwei Punkten einer geraden Linie auf eine zweite gefällten Senkrechten ungleich, ſo werden die von der erſten Linie auf die zweite gefällten Senk⸗ rechten immer kleiner, wenn ſie in der Richtung von der größeren zur kleineren Senkrechten, größer aber, wenn ſie in der entgegengeſetzten Richtung auf einander folgen.

Beweis durch wiederholte Anwendung von 13.

V.

Dieſe 14 Sätze finden ſich, wie ich oben ſchon geſagt habe, in den einzelnen Parallelentheorieen zerſtreut, aber keineswegs alle ſo beſtimmt formulirt, wie ich ſie hier gegeben habe, ſondern im Gegentheil oft nur ſehr unbeſtimmt angedeutet. Dies gilt in der erſten Gruppe namentlich vom Satze 6, von welchem Legendre(ſiehe oben die Anmerkung zu unſerem unmittelbaren Beweiſe des Satzes 6) und Andere nur gelegentlich einen ſehr ſpeciellen Fall angeben. Bei der Verallgemeinerung des Beweiſes für den Euklid'ſchen elften Grundſatz, welchen ſie vorher für den Fall, daß die eine von zwei Geraden ſenkrecht, die andere ſchief gegen dieſelbe dritte Linie ſtehe, bewieſen haben oder vielmehr bewieſen zu haben glauben, ſuchen ſie nämlich zu zeigen, daß, wenn zwei gerade Linien mit einer dritten ſie ſchneidenden nach einer Seite hin innere Gegenwinkel bilden, welche zuſammen kleiner als zwei Rechte ſind, es dann immer auch eine zweite ſchneidende Linie gibt, welche nach derſelben Seite hin mit der einen der durchſchnittenen Linien einen rechten, mit der anderen aber einen ſpitzen Winkel bildet. Auch den Satz 7 habe ich nur in Formen gefunden, welche unſerem erſten Zuſatz zu demſelben entſprechen. In der zweiten Gruppe ſind die Sätze 10 bis 14 mit Ausnahme des Zuſatzes zu 10 von mir zuerſt aufgeſtellt. Ich wurde dazu veranlaßt durch Hindeutungen in den Beweiſen, welche man für die Sätze 1 und 2 oder 8 und 9 ſuchte. Denn daß man mit Hülfe unſerer letzten 7 Sätze die erſten zu beweiſen ſuchte, habe ich ſchon geſagt. Dies hieße aber doch vorausſetzen, daß ſich wenigſtens einer dieſer letzten Sätze unbedingt, d. h. nur geſtützt auf unbeſtrittene Vorausſetzungen, mögen dies nun richtige Definitionen, wirkliche Grundſätze oder vorher aus dieſen bewieſene Lehrſätze ſein, begründen ließe. Für die erſten ſieben Sätze gibt es, wie wir oben geſehen haben, ſolche Beweiſe, welche zwar die Behauptung nicht in allen Punkten begründen, aber doch, ſo weit ſie dies thun, ſich nur auf unbeſtrittene Vorausſetzungen ſtützen. Einen ſolchen unbedingten, wenn auch nur unvollſtändigen Beweis eines unſerer letzten Sätze kenne ich nicht. Die ſogenannten Beweiſe derſelben, welchen man in den Parallelen⸗ theorieen begegnet, ſind nur Umſchreibungen des zu beweiſenden Satzes oder ſetzen einen anderen unſerer Sätze als Grundſatz voraus.

Es iſt hauptſächlich der neunte, doch mitunter auch der achte Satz, welchen man auf dieſe Art zu beweiſen ſuchte.

Clavius z. B. nimmt den Satz 9 als Grundſatz an. Er ſagt nämlich:„Wenn alle Punkte einer Linie „AB von einer geraden D C gleichweit abſtehen, ſo wird Aß eine gerade Linie ſein.“

„Dies kann nämlich aus der Erklärung einer geraden Linie klar hergeleitet werden. Denn wenn alle „Punkte der Linie AB von der geraden D C gleichweit abſtehen, ſo wird kein Zwiſchenraum in ihr zu finden ſein, „der von den beiden Endpunkten ſich aufwärts oder abwärts entfernt oder nach einer anderen Richtung abweicht. „Man wird nichts gebogenes in ihr antreffen, ſondern ſie muß ſich gleichförmig von einem Punkte zum anderen „erſtrecken, wie die gerade DC. 3