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nach 8) entweder einen kleineren oder einen größeren Abſtand von der zweiten geraden Linie haben wie die erſte inie, je nachdem die dritte Senkrechte kleiner oder größer iſt als eine der erſten, d. h. die Verbindungslinie, alſo zuch der in ihr liegende Endpunkt der dritten Senkrechten muß im erſten Falle ganz zwiſchen die beiden geraden Linien, im zweiten aber ganz außerhalb derſelben fallen.

8 folgt indirekt aus 11.

12r Satz. Sind zwei von einer geraden Linie auf eine zweite gefällte Senkrechte un⸗ gleich, und iſt eine dritte Senkrechte auf der zweiten geraden Linie einer der beiden erſteren gleich, ſo muß der Endpunkt dieſer dritten Senkrechten zwiſchen beide gerade Linien oder außerhalb derſelben fallen, je nachdem dieſe Senkrechte ſelbſt von der ihr gleichen Senk⸗ rechten in der von der kleineren zur größeren Senkrechten gehenden oder in der entgegen⸗ geſetzten Richtung liegt.

Beweis aus 1 und 3 leicht.

Beweis aus 11 und 10. Es ſei zuerſt die dritte Senkrechte der kleineren von den beiden erſten gleich. Verbindet man die Endpunkte der beiden gleichen Senkrechten, ſo muß nach(11) der Endpunkt der größeren Senkrechten, und dann auch der ganze Zweig unſerer erſten geraden Linie, welcher vom Endpunkte der kleineren Senkrechten nach dem der größeren hin ins Unendliche geht, über dieſer Verbindungslinie liegen, weil zwei gerade Linien ſich nur in einem Punkte treffen können. Der andere nach der entgegengeſetzten Richtung laufende Zweig dieſer erſten Linie kann(nach 11) nicht in die Verbindungslinie fallen; er kann aber auch nicht über dieſelbe ſich erheben, denn ſonſt müßten(nach 10) die Entfernungen der Punkte beider Zweige unſerer erſten geraden Linie von der zweiten vom Endpunkt der kleineren Senkrechten an zugleich größer werden, und dann auch nothwendig unter dieſen Entfernungen ſich gleiche finden, was nach 11 oder dem Begriffe der geraden Linie unmöglich iſt. Daher muß dieſer zweite Zweig unſerer erſten Linie im Endpunkte der kleineren Senkrechten unter die Verbin⸗ dungslinie treten und dann auch in ſeinem ganzen Verlaufe unter ihr bleiben, weil er ſonſt die Verbindungslinie noch einmal ſchneiden würde. Iſt aber die dritte Senkrechte der größeren von den beiden erſten gleich, ſo braucht man nur die Endpunkte der beiden gleichen Senkrechten durch eine gerade Linie zu verbinden, um wie oben zu finden, daß der Endpunkt der kleineren Senkrechten zwiſchen dieſe Verbindungslinie und die zweite gerade Linie, und daher auch der Zweig der erſten Linie, welcher vom Endpunkte der größeren Senkrechten nach dem der kleineren hin ins Unendliche geht, unter dieſe Verbindungslinie fallen, der entgegengeſetzte Zweig unſerer Linie dagegen im Endpunkte der größeren Senkrechten über die Verbindungslinie ſich erheben und dann auch ſtets über derſelben bleiben muß.

8 folgt indirekt und 11 direkt ſehr leicht aus 12.

13r Satz. Sind die von zwei Punkten einer geraden Linie auf eine zoeite gefällten Senkrechten ungleich, ſo iſt jede dritte von der erſten auf die zweite Linie gefällte Senk⸗ rechte kleiner oder größer wie eine der beiden erſten, je nachdem ſie von ihr in der von der größeren zur kleineren Senkrechten gehenden oder in der entgegengeſetzten Richtung liegt.

Beweis aus 3 und 4K leicht.

Beweis aus 12 und 10. Trägt man auf der groͤßeren Senkrechten vom Fußpunkt an ein Stück ab, welches der kleineren, und auf der verlängerten kleineren, ein Stück, welches der größeren Senkrechten gleich iſt, und verbindet den Endpunkt eines jeden dieſer Stücke mit dem der ihm gleichen Senkrechten, ſo muß der Zweig unſerer erſten geraden Linie, welcher in der von der größeren zur kleineren Senkrechten gehenden Richtung liegt, durch deren Endpunkte eine unſerer Verbindungslinien geht(nach Satz 12), unter dieſer, der andere Zweig aber über derſelben liegen.