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die mittlere von der geraden Verbindungslinie auf die andere gerade Linie gefällte Senkrechte größer oder kleiner ſein als jede der beiden gleichen äußeren; was im Widerſpruch mit 8 ſteht.

Beweis von 1 aus 9. Man errichte zwiſchen den beiden von der erſten geraden Linie auf die zweite gefällten Senkrechten des erſten Satzes auf die zweite gerade Linie eine Senkrechte und mache dieſe einer der beiden erſten gleich. Da dann der Endpunkt dieſer Senkrechten(nach 9) in die erſte gerade Linie fallen muß, ſo iſt der weitere Beweis derſelbe wie der von 1 aus 8.

Beweis von 8 aus 9. Wäre die von einem dritten Punkte der erſten geraden Linie auf die zweite gefällte Senkrechte nicht jeder der beiden erſten gleichen Senkrechten gleich, ſo könnte man auf der dritten, wenn es nöthig ſein ſollte, verlängerten Senkrechten von ihrem Fußpunkt an ein Stück abſchneiden, welches jeder der beiden erſten Senkrechten gleich wäre. Durch deſſen Endpunkt und die Endpunkte der beiden erſten Senkrechten müßte ſich dann nach 9 eine zweite gerade Linie ziehen laſſen.

10r Satz. Sind die von zwei Punkten einer geraden Linie auf eine zweite gefällten Senkrechten gleich, und liegt ein dritter Punkt auf derſelben Seite der zweiten Linie wie die erſte, aber nicht in der letzteren, ſo muß die von ihm auf die zweite gerade Linie ge⸗ fällte dritte Senkrechte kleiner oder größer ſein als jede der beiden erſten, je nachdem er zwiſchen beiden geraden Linien oder außerhalb derſelben liegt.

Beweis aus 1 und 4A leicht.

Beweis aus 9. Macht man die dritte Senkrechte, wo nöthig durch Verlängerung, jeder der beiden erſteren gleich und nennt die ſo erhaltene, mit der dritten Senkrechten zuſammenfallende Linie die vierte Senkrechte, ſo muß(nach 9) der Endpunkt dieſer vierten Senkrechten in der erſten geraden Linie liegen. Liegt nun der dritte Punkt, d. h. der Endpunkt unſerer dritten Senkrechten, zwiſchen beiden geraden Linien, alſo auch zwiſchen den Endpunkten der dieſe Linien verbindenden vierten Senkrechten, ſo iſt die dritte Senkrechte ein Theil der vierten, alſo auch kleiner wie dieſe und wie jede der beiden erſten. Liegt aber der Endpunkt unſerer dritten Senkrechten außerhalb der beiden geraden Linien, ſo muß er auch außerhalb der Endpunkte der dieſe Linien verbindenden vierten Senkrechten liegen, d. h. die vierte Senkrechte muß ein Theil der dritten, alſo die letztere auch größer ſein wie jede der beiden erſten.

9 folgt indirekt aus 10.

Zuſatz zu 10. Die drei Eckpunkte eines Dreiecks können nicht gleichweit von einer geraden Linie entfernt ſein.

11r Satz. Sind die von zwei Punkten einer geraden Linie auf eine zweite gefällten Senk⸗ rechten einander gleich, iſt aber die von einem dritten Punkte, welcher auf derſelben Seite der zweiten Linie liegt wie die erſte, auf die zweite Linie gefällte Senkrechte größer oder kleiner als jede der beiden gleichen erſten, ſo kann dieſer dritte Punkt nicht in der erſten geraden Linie liegen, und zwar muß er zwiſchen beide gerade Linien oder außerhalb der⸗ ſelben fallen, je nachdem die dritte Senkrechte kleiner oder größer iſt als jede der beiden anderen.

Der Beweis läßt ſich aus 1 und 3 oder indirekt aus 9 und 10 ſehr leicht führen.

Der direkte Beweis aus 9 allein iſt mit geringen Veränderungen übereinſtimmend mit dem oben gegebenen des Satzes 10 aus 9.

Beweis aus 8. Man macht die erſte, wenn es nöthig ſein ſollte, verlängerte Senkrechte gleich der dritten und verbindet die Endpunkte beider durch eine gerade Linie. Alle Punkte dieſer Verbindungslinie müſſen