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IV.

Wir haben im Vorhergehenden nachgewieſen, daß die bis jetzt bekannten Beweiſe unſerer ſieben Sätze und ihrer Zuſätze entweder unvollſtändig oder unbefriedigend ſind, inſofern ſie entweder die Behauptung derſelben nur zum Theile begründen, oder dieſe Begründung nur durch einen Schluß vom Beſonderen aufs Allgemeine oder durch einen Zirkel im Schließen ermöglichen. Wenn aber auch durch den Beweis unſeres Satzes 4 durch Fußpunktſenk⸗ rechte, welcher zuerſt von Clavius gegeben und von Hoffmann vervollſtändigt wurde, und durch den Beweis Legendre's über die Winkelſumme im Dreieck nicht ihre erſten Erfinder allein getäuſcht wurden, ſo konnte doch die Erkenntniß der Trugſchlüſſe, durch welche ſie für erbracht gehalten wurden, und mit ihr die Ueberzeugung, daß eine dirckte Begründung dieſer Sätze unmöglich ſei, nicht lange ausbleiben. Hieraus gingen wieder die Verſuche hervor dieſes Ziel auf einem Umwege mit Hülfe neuer Sätze zu erreichen. Obgleich man ſcheinbar ſehr verſchiedene Wege einſchlug, ſo fand man doch Sätze, welche nicht nur unter ſich, ſondern auch mit den vorhergehenden eng zuſammenhängen, welche daher auch zum Beweiſe der früheren Sätze führen müßten, wenn ſie ſelbſt ſich begründen ließen. Dieſe neuen Sätze laſſen ſich analytiſch aus dem Satze entwickeln: Wenn zwei von einer geraden Linie auf eine zweite gefällte Senkrechte ungleich ſind, ſo nähern ſich beide Linien nach der Seite der kleineren Senkrechten und entfernen ſich nach der entgegengeſetzten Seite hin. Ich will die Sätze hier zuerſt genetiſch geordnet im Anſchluſſe an die obigen aufführen und zugleich bei jedem einzelnen die Abhängigkeit deſſelben von den vorhergehenden, ſo wie umgekehrt dieſer letzteren von jenen nachweiſen, über die Wege aber, auf welchen ſie gefunden wurden, und über ihre unbedingten Beweiſe erſt im folgenden Abſchnitte ſprechen.

8r Satz. Sind die von zwei Punkten einer geraden Linie auf eine zweite gefällten Senkrechten einander gleich, ſo muß ihnen auch jede andere von der erſten auf die zweite Linie gefällte Senkrechte gleich ſein.

Bei vorausgeſetzter Richtigkeit der erſten ſieben Sätze folgt der Beweis aus 1 und 2 ſehr leicht; oder auch aus 1 allein, wenn man in jeder der beiden geraden Linien auf derſelben Seite derſelben Senkrechten einen Punkt nimmt und beide Punkte durch eine gerade Linie verbindet.

Auch folgt umgekehrt 1 aus unſerem Satze 8. Wir haben oben bei dem Verſuche den Satz 1 unbedingt zu beweiſen(p. 9) gefunden, daß zwei von einer geraden Linie auf eine zweite gefällte Senkrechte, wenn ſie gleich ſind, mit der erſten Linie immer gleiche innere Gegenwinkel bilden müſſen. Fällt man nun zwiſchen den beiden gleichen Senkrechten des erſten Satzes noch eine dritte von der erſten geraden Linie auf die zweite, ſo muß (nach 8) dieſe Senkrechte jeder der beiden erſten gleich ſein. Nach dem oben angeführten Beweiſe bilden je zwei von dieſen Senkrechten mit der erſten Linie gleiche Gegenwinkel; daher ſind dieſe vier Winkel alle einander gleich; weil aber zwei von ihnen, welche die mittlere Senkrechte mit der erſten geraden Linie bildet, Nebenwinkel, alſo wegen ihrer Gleichheit rechte Winkel ſind, müſſen auch die beiden anderen Winkel, welche die äußeren Senkrechten mit der erſten Linie bilden, rechte Winkel ſein.

9r Satz. Sind die von drei Punkten, welche auf derſelben Seite einer geraden Linie liegen, auf die letztere gefällten Senkrechten einander gleich, ſo geht jede durch zwei be⸗ liebige dieſer Punkte gezogene gerade Linie auch durch den dritten.

Beweis aus 1. Die beiden Verbindungslinien des mittleren Punktes mit jedem der beiden äußeren müſſen(nach 1) mit der mittleren Senkrechten rechte Winkel bilden, alſo in dieſelbe Linie fallen.

Beweis aus 8. Läge der mittlere Punkt nicht in der Verbindungslinie der beiden äußeren, ſo müßte die von ihm auf jene erſte gerade Linie gefällte Senkrechte entweder ſelbſt die Verbindungslinie ſchneiden, oder es müßte dies ihre Verlängerung thun, weil die dritte Senkrechte jeder der beiden erſten parallel iſt, d. h. es müßte