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Es ſeien(Fig. III.) AB und Ch die beiden geraden Linien, welche von Ell in den Punkten F und G ſo durchſchnitten werden, daß ſie mit ihr die inneren Gegenwinkel ꝙ und bilden, welche zuſammen kleiner als zwei Rechte ſind, und es ſei N der Halbirungspunkt von FG. Zieht man durch den Durchſchnittspunkt F die Linie KL ſo, daß ‿= 2R wird, ſo fällt dieſe Linie auf der rechten Seite von Ell oberhalb FB, auf der linken aber unter FA, den andern Zweig von AB. Man nehme nun in den oberhalb liegenden Zweigen beider Linien, alſo rechts in FL, links in FA je einen beliebigen Punkt l und M an und verbinde ihn mit N; dann muß die links liegende Verbindungslinie die FK in P ſchneiden. Auf CD mache man hierauf GT= Flund 6G0= Fb und verbinde T und O ebenfalls mit N.

Aus der Congruenz(Euklid 4) der ſo gebildeten Dreieckspaare NFl, NGT und NFP, NG folgt: erſtens, daß die an dem Scheitel N liegenden Winkel jedes Paares gleich ſind, weßhalb die Verlängerung der Linie IN mit NIT, und die Verlängerung der Linie MN mit NO zuſammenfallen muß; zweitens, daß auch die Winkel«, 9, ebenſo wie x, 2 einander gleich ſind. Nun iſt aber(Euklid 16) und. u; daher muß auch a und 1 ☚2 und a+ u und 1+ u+o, und endlich, weil= 1 o= 21 iſt, a 2R und ½ 2R ſein.

Von jeder geraden Linie, welche die beiden Linien AB und CD verbindet und durch den Halbirungspunk (N) der erſten Verbindungslinie(G F) geht, läßt ſich daher leicht indirekt zeigen, daß ſie mit den Linien AB unß CD nach derſelben Richtung wie die erſte innere Gegenwinkel bilden muß, welche kleiner ſind als zwei Rechte Daſſelbe läßt ſich aber auch ebenſo von jeder anderen die AB und CD verbindenden Linie beweiſen, welche eine dieſe neuen Verbindungslinien oder eine durch wiederholte Anwendung dieſes Satzes gebildete Verbindungslinie vor AB und C! halbirt. Obgleich nun alle die unendlich vielen neuen Verbindungslinien von AB und Ch, welche jede frühere, eben ſo gebildete Verbindungslinie halbiren können, der Behauptung unſeres Satzes Genüge leiſten, und obgleich alle Halbirungspunkte aller dieſer unendlich vielen Verbindungslinien, wie man leicht ſieht, auf der Seite der erſten Verbindungslinie liegen müſſen, auf welcher dieſe mit AB und CD innere Gegenwinkel bildet, die größer als 2 R ſind, ſo läßt ſich doch über die Summe der inneren Gegenwinkel, welche die AB und CD mit einer willkührlich gezogenen Verbindungslinie bildet, gar nichts beweiſen, ſelbſt wenn dieſe Linie ganz oder doch zum größeren Theile auf der eben erwähnten Seite der erſten Verbindungslinie liegt.

Anm. Legendre hat unſeren Satz für den beſonderen Fall zu beweiſen geſucht, daß die durch den Hal. birungspunkt N der erſten gezogene zweite Verbindungslinie auf einer der verbundenen Linien ſenkrecht ſteht Sein Beweis iſt dem unſeren ähnlich, aber nicht vollſtändig. Er hat nämlich nicht unterſucht, durch welchen der Durchſchnittspunkte F oder G der einen durchſchnittenen Linie die(mit der anderen parallele) Hülfslinie gezogen werden müſſe. Wenn er dieſe, hier keineswegs überflüſſige Unterſuchung geführt und nicht nach dem Augenſchein allein conſtruirt hätte, ſo würde er gefunden haben, daß, wenn+‿ 2R und g ſtumpf iſt, wie in Fig. 3, die Hülfslinie durch den Scheitel des ſpitzen Winkels G, wie RS, gezogen werden müſſe, damit die GD durch die von N aus auf ſie gefällte Senkrechte ſelbſt geſchnitten werde; daß man aber, wenn die Gegenwinkel ꝙ und„ beide ſpitze Winkel ſind, die(parallele) Hülfslinie(Fig. Za) durch F, wie KL, oder durch G, wie RS, ziehen kann, ohne daß weder die AB von der auf K. gefällten Senkrechten NY, noch die CD von der auf RS gefällten NZ ſelbſt geſchnitten wird; es könnte dies erſt durch die Verlängerung der Senkrechten geſchehen. Annehmen aber, daß in dieſem Falle das Durchſchneiden ſtattfinden müſſe, hieße den elften Grundſatz Euklids vorausſetzen.

Für einen Theil der Behauptung des zweiten Zuſatzes zu 7 gibt es mehrere ſtrenge Beweiſe. Der hier mitgetheilte iſt dem treffenden direkten Beweis von Hoffmann nachgebildet.