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daß ihre aneinanderſtoßenden Grundlinien in derſelben geraden Linie liegen, und ihre Winkel und Seiten in

derſelben Ordnung aufeinanderfolgen. Nun ſchließt er: Wären die Winkel eines jeden dieſer congruenten Dreiecke

zuſammen größer als zwei Rechte, alſo a+‿ ℳ 2R, ſo müßten, weil a-+ 6 7= 2R iſt, die Winkel BCD=DEF=.= J und kleiner als die Winkel ABC= CDE=..= G, und daher auch die Verbindungs⸗ linien der Spitzen BD= DF=..(Euklid 4) und kleiner als die gleichen Grundlinien AC, CE etc.(Euklid 26) ſein. Nennt man jede der gleichen Grundlinien g, jede der gleichen Verbindungslinien! und ſetzt g-l= d, ſo wäre ng-nl=ndoderng=nd Pnl. Wie klein auch immer dieſer Unterſchied ſein möchte, ſo müßte man doch, wenn er einmal beſtände, dadurch daß man ihn oft genug wiederholte, eine Linie bilden können, die größer wäre wie jede gegebene, alſo auch größer wie AB BC=AB+ KL, oder man müßte n groß genug nehmen können, daß nd*AB+ KL, und daher aucheng oder das ihm gleiche nd †nlAB KL Pnl, d. i. n. AC n. BD+ AB+ KL. würde. Dies heißt aber nichts anderes als es müßte, wenn man nur die Zahl der Dreiecke groß genug nähme, ſich endlich ein Vieleck bilden laſſen, deſſen eine Seite größer wäre als die Summe aller übrigen. Da dies nicht möglich iſt, ſo können die Winkel eines Dreiecks zuſammen nur zwei Rechte oder weniger wie zwei Rechte betragen.

Er nimmt daher zweitens an, die Winkel eines Dreiecks(Fig. II.) ſeien gleich 2R- d, verlängert die Schenkel eines Winkels(des kleinſten Winkels, wie er ſagt), und legt an die Seite BC ein dem Dreieck ABC congruentes Dreieck BCD, ſo aber, daß Winkel BCD= ABC und CBD= BCA iſt. Weil aber(Euklid 16) der Außenwinkel CBE des Dreiecks ABC größer iſt als ſein innerer ihm nicht anliegender Winkel BCA oder der ihm gleiche Winkel CB D, ſo muß BD und aus gleichem Grunde auch CD und daher auch der Durchſchnitts⸗ punkt D beider Linien in den Winkel A fallen.(Warum Hoffmann, Kritik p. 177, ſagt, der Beweis dafür, daß D in den Winkel A falle, welchen Legendre ſchuldig geblieben ſei, gehe nicht aus der Natur des Dreiecks hervor, begreife ich nicht.) Kann man nun durch D eine Linie ziehen, welche beide Schenkel des Winkels Ain den Punkten E und P durchſchneidet, ſo erhält man ein Dreieck AEF, welches durch die Linien BC, BD, Ch in vier Dreiecke zerlegt wird. Die Winkel der Dreiecke ABC und B0C0 ſind nach unſerer Annahme zu⸗ ſammen gleich 4K- 2d. Nach dem Obigen können die drei Winkel eines Dreiecks zuſammen höchſtens gleich zwei Rechten ſein. Nehmen wir nun auch dieſe höchſtmögliche Summe für die Winkel der Dreiecke BED und CDF

an, ſo würden die Winkel aller vier Dreiecke zuſammen höchſtens gleich 8R- 2d ſein. Zieht man davon die

Winkel an B, C, D, welche zuſammen gleich 6 R ſind, ab, ſo würden für die Summe der Winkel des Dreiecks AEF höchſtens noch 2R- 2d übrig bleiben. Bildet man nun das Dreieck AlH auf dieſelbe Weiſe mit Hülfe des Dreiecks ACF, wie dieſes eben mit Hülfe von ABC gebildet wurde, und wiederholt dieſelben Berechnungen für die Winkel deſſelben, ſo könnte die Summe derſelben höchſtens gleich 2R- 4d ſein. Ebenſo läßt ſich mit Hülfe von Alll ein viertes und mit deſſen Hülfe ein fünftes, und, wenn man ſo fortfährt, endlich ein ntes Dreieck bilden, deſſen Winkelſumme höchſtens gleich 2K-2—1d ſein könnte. Wie klein nun auch d ſein möͤchte, ſo würde doch n immer groß genug genommen werden können, daß 2d 2R, d. h. daß die Summe der drei Winkel eines Dreiecks Null oder negativ würde. Da dies aber unmöglich iſt, ſo können die Winkel eines Dreiecks zuſammen auch nicht kleiner als 2R ſein.

Allerdings iſt dieſer Beweis täuſchend, und doch bewegt er ſich in ſeinem zweiten Theile im Zirkel. Denn die Annahme, daß ſich durch jeden Punkt innerhalb eines Winkels eine Linie ziehen laſſe, welche beide Schenkel deſſelben durchſchneide, ſetzt, wie wir ſpäter zeigen werden, den Euklid'ſchen Grundſatz voraus, welcher von Legendre gerade mit Hülfe unſeres Satzes bewieſen wird.

Vom Satz 6 läßt ſich derſelbe Theil der Behauptung beweiſen, wie vom Satz 5. 24