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auf die zweite gefällte Senkrechte, welche zwiſchen zwei ebenfalls von der erſten auf die zweite Linie gefällten Fußpunktſenkrechten liegt, kleiner iſt als die vorhergehende und größer als die folgende von dieſen letzteren; man braucht dazu nur den Fußpunkt jener Senkrechten mit dem Anfangspunkt der vorhergehenden und ihren Anfangspunkt mit dem Fußpunkt der folgenden zu verbinden und den zweiten der oben angeführten Hülfsſätze anzuwenden.

Hieraus können wir nun allerdings ſchließen, daß jede von der erſten geraden Linie auf die zweite gefällte Senkrechte kleiner ſein muß wie jede vorhergehende bis zur erſten, wenn uns der Nachweis gelingt, daß dieſe Senkrechte entweder ſelbſt eine ſolche Fußpunktſenkrechte iſt oder von zweien derſelben eingeſchloſſen werden kann. Um zu ſehen, in wie fern wir hoffen dürfen dieſen Beweis zu führen, wollen wir den günſtigſten Fall annehmen, nämlich den, daß die beiden geraden Linien in nicht zu großer Entfernung von der erſten Senkrechten ſich ſchneiden. Weil(Euklid 1. 17) zwei Winkel eines Dreiecks immer kleiner als zwei Rechte ſind, ſo müſſen dann beide gerade Linien unter einem ſpitzen Winkel zuſammentreffen, und jede Senkrechte, welche von irgend einem Punkte des einen Schenkels auf den anderen gefällt wird, kann nur den letzteren ſelbſt, alſo nicht ſeinen Scheitel oder ſeine Verlän⸗ gerung treffen, was nichts anderes heißt als, ſie kann nicht Null und nicht negativ werden. Dies heißt auf unſere Fußpunktſenkrechten angewendet: So viele derſelben wir auch ziehen, und ſo klein die letzten auch werden mögen, ſo iſt doch immer noch eine viel größere Anzahl derſelben möglich, kurz es ſind unendlich viele möglich. Daher können wir zwei gerade Linien von ſolcher Art nur einem kleinen Theile nach durch Fußpunktſenkrechte begränzen, wenn auch eine beliebig große Anzahl derſelben gezogen wird. Ueber die letzte derſelben hinaus ſind wir aber ebenſowenig berechtigt auf eine weitere Abnahme der Senkrechten, als auf ein Gleichbleiben oder ſogar Wachſen derſelben zu ſchließen. Daß eine von dem Schenkel des ſtumpfen Winkels, welchen die erſte gerade Linie mit der erſten Senkrechten bildet, auf die zweite gerade Linie gefällte Senkrechte größer iſt als die erſte, läßt ſich nur dann beweiſen, wenn man durch Fußpunktſenkrechte, die von ihr aus gezogen ſind, die erſte einſchließen kann. Von der erſten Senkrechten aus läßt ſich dies nicht zeiigen. Denn man müßte im Anfangspunkt der erſten Senkrechten, welcher in der erſten geraden Linie liegt, auf dieſe eine Senkrechte errichten und annehmen, daß dieſe die zweite gerade Linie ſchnitte. Wir können alſo auch auf der Seite des ſtumpfen Winkels durch Fußpunktſenkrechte nur von beſtimmten der erſten naheliegenden Senkrechten beweiſen, daß ſie größer ſind als die erſte. Nur durch einen Schluß vom Beſonderen aufs Allgemeine können wir daher die Ueberzeugung erlangen, daß die Behauptung des Satzes durch unſere Fußpunktſenkrechten erwieſen ſei.

Ebenſo kann der Satz 5 theilweiſe bewieſen werden. Es läßt ſich hier nämlich zeigen, daß, wenn zwei gerade Linien mit einer ſie ſchneidenden geraden Linie gleiche Wechſelwinkel bilden, ſie dies auch mit jeder anderen ſie ſchneidenden geraden Linie thun müſſen, welche durch den Halbirungspunkt der erſten ſchneidenden geht, ſo weit dieſe zwiſchen den durchſchnittenen Linien liegt. Verbindet man dieſen Halbirungspunkt mit jedem von zwei Punkten, welche in einer der durchſchnittenen Linien gleichweit vom Durchſchnittspunkt der erſten ſchneidenden Linie entfernt auf entgegengeſetzten Seiten der letzteren liegen, ſo erhält man zwei congruente Dreiecke. Aus der Gleichheit der Winkel am Halbirungspunkte folgt, daß die beiden Verbindungslinien in dieſelbe gerade Lime fallen, und daraus ſowie aus der Gleichheit der anderen Winkel, daß dieſe mit den beiden erſten von ihr durch⸗ ſchnittenen Linien gleiche Wechſelwinkel bildet. Daß aber auch die nicht durch dieſen Halbirungspunkt gehenden ſchneidenden Linien mit den beiden durchſchnittenen gleiche Wechſelwinkel bilden müſſen, läßt ſich nicht beweiſen.

Zum Zuſatz zu 5 hat Legendre einen ſcharfſinnigen Beweis geliefert. Dieſer beſteht aus zwei Theilen. Im erſten Theile wird bewieſen, daß die drei Winkel im Dreieck zuſammen nicht mehr als zwei Nechte betragen können. Zu dem Ende ſtellt er(Fig. I.) mehrere congruente Dreiecke ABC, CD E,.... ſo nebeneinander⸗