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Fndpunkte zuſammen fallen und daher auch die Winkel gleich ſein, welche ſie mit dieſer Verbindungslinie, d. i. jnſerer erſten geraden Linie, bilden. Daß alſo die Winkel, welche zwei von einer geraden Linie auf eine zweite efäͤllte Senkrechte mit der erſteren Linie bilden, gleich ſind, wenn die Senkrechten gleich ſind, können wir be⸗ weiſen; nicht aber, daß dieſe Winkel rechte ſind; ſie könnten eben ſo gut auch ſpitz oder ſtumpf ſein.

Sind zweitens, wie im Satze 3 vorausgeſetzt iſt, unſere Senkrechten ungleich, ſo muß von der umgedrehten Figur der Endpunkt der kleineren Senkrechten in die größere, und der Endpunkt der größeren über die kleinere Senkrechte der urſprünglichen Figur hinausfallen. Die Verbindungslinien der Endpunkte beider Figuren müſſen ſich daher ſchneiden, d. h. mit den Senkrechten Dreiecke bilden, und deßwegen der Winkel, welchen jede von ihnen mit der kleineren Senkrechten bildet, größer ſein als der, welchen ſie mit der größeren bilden, weil der Außenwinkel eines Dreiecks größer iſt wie jeder innere ihm nicht anliegende Winkel deſſelben(Euklid 16). Da iber über das Verhältniß der durch den Durchſchnitt gebildeten Theile jeder Verbindungslinie ſich nichts ermitteln äßt, ſo können wir auch die Größe der Winkel nicht näher beſtimmen. Sind alſo zwei von einer geraden Linie uuf eine zweite gefällte Senkrechte ungleich, ſo läßt ſich nur beweiſen, daß der Winkel, welchen die größere Senk⸗ echte mit der erſten Linie bildet, kleiner iſt als der, welchen die kleinere Linie mit ihr bildet, aber nicht, daß der rſtere Winkel ſpitz, der andere ſtumpf, und daher auch nicht, daß der letztere ein Supplement des erſteren ſein muß.

Die Beweiſe der Sätze 2 und 4 ſind ebenſo unvollſtändig wie die eben gegebenen. In beiden Sätzen iſt eine Senkrechte von der erſten geraden Linie auf die zweite gefällt, welche nur im Satze 2 auch ſenkrecht auf der erſten geraden Linie, im Satze 4 aber ſchief gegen dieſelbe ſteht.

Dreht man den einen der durch die Senkrechte gebildeten Theile einer jeden der beiden Figuren um die Senkrechte als Axe herum, bis er in die Ebene des anderen Theiles fällt, ſo werden im erſten Falle beide Theile der Figur ſich decken, im zweiten aber der Schenkel des ſpitzen Winkels in ſeinen ſtumpfen Nebenwinkel fallen; beidemale werden daher je zwei Senkrechte zuſammenfallen, deren Fußpunkte auf verſchiedenen Seiten der erſten Senkrechten und gleichweit von derſelben entfernt liegen. Im erſten Falle, dem Satze 2, müſſen daher je zwei entſprechende von dieſen Senkrechten gleich ſein, im zweiten Falle, dem Satze 4, muß die auf der Seite des ſpitzen Winkels liegende kleiner ſein als die entſprechende auf der anderen Seite. Ob aber eine beliebige von dieſen Senkrechten, gleich größer oder kleiner iſt als die erſte oder eine folgende oder eine vorhergehende, läßt ſich nicht nachweiſen. Selbſt dann, wenn man beide Figuren, vorausgeſetzt, daß ſie eine gleiche erſte Senkrechte haben, verbindet, findet man nur, daß die im Schenkel des ſpitzen Winkels anfangende Senkrechte kleiner iſt als die entſprechende im rechten, und daß dieſe wieder kleiner iſt als die entſprechende im ſtumpfen. Da man aber das Verhältniß einer mittleren im Schenkel des rechten Winkels anfangenden Senkrechten zu einer anderen nicht ent⸗ ſprechenden und zu der erſten nicht kennt, ſo kann man auch das Verhältniß der entſprechenden ungleichen Senk⸗ rechten zu der erſten oder einer beliebigen anderen nicht entſprechenden hierdurch nicht beſtimmen.

Ein anderer Beweis des Satzes 4 führt ſcheinbar weiter. Fällt man nämlich vom Fußpunkt der erſten Senkrechten, welche in der zweiten geraden Linie liegt, eine Senkrechte auf die erſte gerade Linie und von dem Fußpunkt dieſer wieder eine Senkrechte auf die zweite und ſo fort von dem Fußpunkt jeder vorhergehenden auf einer der geraden Linien Senkrechten immer wieder eine Senkrechte auf die andere gerade Linie, ſo läßt ſich leicht zeigen erſtes, daß dieſe Senkrechten von der erſten auf der Seite des ſpitzen Winkels ſich immer weiter entfernen, und zwar mit Hülfe des Satzes: Zwei Winkel im Dreieck betragen weniger als zwei Rechte; zweitens daß jede folgende dieſer Fußpunktſenkrechten kleiner iſt als die vorher⸗ gehende, und zwar mit Hülfe des Satzes: In jedem Dreiecke liegt dem größeren Winkel die größere Seite gegenüber. Dann läßt ſich auch noch leicht beweiſen, daß jede andere von der erſten geraden Linie

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