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Aus Satz 6 folgt, daß die ſchneidenden Linien mit der oben angegebenen Richtung der durchſchnittenen innere Gegenwinkel bilden müſſen, welche kleiner als zwei Rechte ſind; daher müſſen auch diejenigen von ihnen, welche auf der zweiten Linie ſenkrecht ſtehen, mit derſelben Richtung der erſten ſpitze Winkel bilden, welche gleich ſind, weil die Senkrechten mit der zweiten geraden Linie gleiche correſpondirende Winkel bilden und darum auch (nach 5) mit der erſten gleiche correſpondirende Winkel bilden müſſen. Aus dem Zuſatz zu 4 folgt auch noch, daß die nach obiger Richtung aufeinanderfolgenden ſenkrecht ſchneidenden Linien, ſoweit ſie zwiſchen den durchſchnittenen liegen, immer kleiner werden. Fällt man nun von den Punkten, in welchen jede folgende von dieſen auf der zweiten Linie Senkrechten die erſte ſchneidet, eine Senkrechte auf die vorhergehende, ſo wird durch dieſe zwiſchen je zwei aufeinanderfolgenden Senkrechten ein Viereck und ein rechtwinkliges Dreieck gebildet. Da nun aber in jedem dieſer Vierecke nach 2 je zwei gegenüberſtehende Seiten gleich ſind, ſo iſt auch die eine der Katheten eines jeden der Dreiecke gleich dem Unterſchiede beider Senkrechten, und die andere gleich ihrem Abſtand auf der zweiten geraden Linie; da endlich auch die Dreiecke congruent ſind(Euklid 26), ſo ſind auch dieſe Unterſchiede und Ab⸗ ſtände gleich.

Der Satz 3 iſt nur ein beſonderer Fall unſeres 7ten Satzes.

Zuſatz. Schneidet man auf dem einen Schenkel eines Winkels Stücke ab, welche ſich verhalten wie 1:2:3:4u. ſ. w. und fällt von ihren Endpunkten Senkrechte auf den anderen Schenkel, ſo verhalten ſich nicht nur dieſe Senkrechten, ſondern auch die von ihnen auf dem anderen Schenkel vom Scheitel an abgeſchnittenen Stücke ebenfalls wie 1:2:3:4u. ſ. w.

Da in jedem Dreieck zwei Winkel zuſammen kleiner ſind als zwei Rechte, ſo folgt der Zuſatz unmittelbar aus dem Hauptſatz.

Zuſatz 2. In jedem Schenkel eines jeden, wenn 2u noch ſo kleinen Winkels läßt ſich immer ein Punkt nicht nur ſo beſtimmen, daß die von ihm auf den anderen Schenkel gefällte Senkrechte größer wird als jede gegebene Linie, ſondern auch ſo, daß die Senkrechte vom andern Schenkel ein Stück abſchneidet, welches größer iſt wie jede gegebene Linie.

Dies folgt leicht aus Zuſatz 1.—

III.

Die Sätze 1 bis 4 ſind die Hauptſätze, 5 und 6 Verallgemeinerungen und 7 mit ſeinen Zuſätzen Anwen⸗ dungen derſelben auf beſondere Fälle. Eine Fortſetzung dieſer Anwendungen würde uns auf die Sätze von der Aehnlichkeit der Dreiecke und durch dieſe zu einer direkten Löſung unſerer Aufgabe führen. Da dieſer Weg aber, ſo viel ich weiß, von Niemand weiter verfolgt worden iſt, ſo begnüge auch ich mich mit dieſer Andeutung deſſel⸗ ben, und dies um ſo mehr, als alle unſre Sätze problematiſch ſind. Denn wir haben zwar geſehen, daß jeder von unſeren Hauptſätzen ſich durch jeden anderen von ihnen begründen läßt, daß alſo die Wahrheit aller erkannt wäre, wenn ſich nur die Wahrheit eines einzelnen unter ihnen nachweiſen ließe. Aber gerade dieſen Nachweis können wir nicht geben. Denn von unſeren Sätzen läßt ſich ſtets ein Theil der Behauptung leicht beweiſen; der Beweis des andereu Theiles iſt aber noch keinem Euklidianer gelungen..

Bei den Sätzen 1 und 3 wird durch die beiden von der erſten geraden Linie auf die zweite gefällten Senk⸗ rechten ein Viereck gebildet, welches an der Grundlinie, d. i. der zweiten Linie, zwei rechte Winkel hat. Denkt man ſich nun dieſes Viereck doppelt und das eine umgekehrt ſo auf das andere gelegt, daß der Fußpunkt der „zweiten Senkrechten auf den der erſten, und, was die Gleichheit der Grundlinin geſtattet, auch der Fußpunkt er erſten Senkrechten auf den der zweiten fällt, ſo müſſen auch die Senkrechten zuſammenfallen. Sind dieſe Senkrechten, wie im Satz 1 gleich, ſo müſſen ihre Endpunkte und demnach auch die Verbindungslinien ihrer