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ör Satz. Werden zwei gerade Linien von beliebig vielen anderen durchſchnitten, und ſind von den Gegen⸗ und Wechſelwinkeln, welche jene zwei nit einer beliebigen von dieſen bilden, irgend zwei correſpondirende⸗ oder zwei Wechſelwinkel gleich, oder zwei Gegenwinkel Supplemente, ſo ſind auch je zwei andere an irgend einer der ſchneidenden Linie liegende correſpondirende⸗ oder Wechſelwinkel gleich und je zwei Gegenwinkel Supplemente.

Geſtützt auf den Satz 2 bietet der Beweis dieſes Satzes keine Schwierigkeit. Nehmen wir nämlich zuerſt an, daß die erſte ſchneidende Linie ſenkrecht auf einer der beiden durchſchnittenen Linien, alſo nach der Vorausſetzung auch ſenkrecht auf der anderen ſtehe, und fällen dann von jedem der Punkte, in welchem eine beliebige der ſchiefen Linien eine der beiden erſten Linien ſchneidet, eine Senkrechte auf die andere, ſo ſind dieſe Senkrechten(nach 2) gleich und ſchneiden von den beiden erſten Linien gleiche Stücke ab; daher ſind die durch ſie gebildeten Dreiecke (Euklid 7) congruent und deßwegen wieder die Wechſelwinkel gleich, woraus die übrigen Theile der Behauptung leicht gefolgert werden können.

Iſt aber zweitens die erſte ſchneidende ſchief gegen beide durchſchnittene Linien geneigt, ſo halbire man ihr zwiſchen dieſen liegendes Stück und fälle auf die durchſchnittenen Linien vom Halbirungspunkt aus Senkrechte. Aus der Congruenz der hierdurch gebildeten rechtwinkligen Dreiecke(Euklid 26) folgt die Gleichheit der Winkel am Halbirungspunkt und daraus wieder, daß die beiden Senkrechten in dieſelbe gerade Linie fallen; wodurch unſer zweiter Fall auf den erſten reduzirt iſt.

Der Satz 2 iſt nur ein beſonderer Fall des Satzes 5; daher folgt er unmittelbar aus dieſem.

Zuſatz. Die drei Winkel eines Dreiecks betragen zuſammen zwei Rechte.

Dieſer Satz iſt eigentlich nur eine einfachere Form des obigen, mit deſſen Hülfe er ſich auch leicht auf eine der gewöhnlichen Arten beweiſen läßt.

ér Satz. Werden zwei gerade Linien von beliebig vielen anderen durchſchnitten, und ſind von den Gegenwinkeln, welche die ſchneidenden mit derſelben Richtung der durch⸗ ſchnittenen Linien bilden, zwei innere zuſammen kleiner als zwei Rechte, oder ein äußerer größer als ſein innerer correſpondirender, ſo ſind auch von dieſen, an irgend einer der ſchneidenden Linien liegenden Gegenwinkeln je zwei innere zuſammen kleiner als zwei Rechte, und jeder äußere größer als ſein innerer correſpondirender; von den Gegenwinkeln aber, welche die ſchneidenden Linien mit der entgegengeſetzten Richtung der beiden durch⸗ ſchnittenen Linien bilden, ſind dann je zwei innere größer als zwei Rechte, und jeder äußere kleiner als ſein innerer correſpondirender.

Leitet man aus dem Zuſatz zu 5 den Satz ab, daß die Winkel eines Vierecks gleich vier Rechten ſind, ſo iſt unſer Satz eigentlich ſchon bewieſen.

Alle vorhergehenden Sätze laſſen ſich indirekt aus dem ten beweiſen, am einfachſten natürlich der durch Contrapoſition aus ihm gebildete 5te Satz.

r Satz. Werden zwei gerade Linien von beliebig vielen anderen durchſchnitten, und bildet eine der ſchneidenden mit einer Richtung der durchſchnittenen Linien innere Gegen⸗ winkel, welche kleiner als zwei Rechte ſind, während die anderen von der erſten geraden Linie gleiche Stücke abſchneiden und auf der zweiten ſenkrecht ſtehen, ſo müſſen dieſe, in der oben angegebenen Richtung aufeinander folgenden Senkrechten um gleiche Stücke ab⸗ nehmen und auf der zweiten geraden Linie gleiche Stücke abſchneiden.