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Um 1 aus 2 zu beweiſen, muß man vom Endpunkt der einen Senkrechten eine Senkrechte auf die andere fällen und zeigen, daß dieſe mit der Verbindungslinie der Endpunkte der beiden erſten Senkrechten zuſammenfällt. Dies folgt aber daraus, daß die vom Endpunkt der einen auf die andere Senkrechte gefällte dritte Senkrechte (nach 2) von beiden erſteren, welche nach der Vorausſetzung gleich ſind, gleiche Stücke abſchneiden muß.

3r Satz. Sind die von zwei Punkten einer geraden Linie auf eine zweite gefällten Senkrechten ungleich, ſo bilden ſie mit der erſten geraden Linie innere Gegenwinkel, von welchen der an der größeren Senkrechten liegende ſpitz, der andere an der kleineren lie⸗ gende aber ſein ſtumpfer Supplementwinkel iſt.

Um dieſen Satz 3 mit Hülfe des Satzes 1 zu beweiſen, braucht man nur auf jeder der Ser, wo nöthig verlängerten Senkrechten vom Fußpunkt an ein Stück abzutragen, welches der anderen Senkrechten gleich iſt, und den Endpunkt jedes dieſer Stücke mit dem Anfangspunkt der anderen Senkrechten zu verbinden; dann müſſen dieſe Verbindungslinien gleich ſein und mit beiden Senkrechten rechte Winkel bilden. Daraus folgt aber die Congruenz der zwiſchen ihnen und den Senkrechten liegenden Dreiecke und daraus endlich die Behauptung unſeres Satzes.

Faſt ebenſo ließe ſich der Satz 3 mit Hülfe des Satzes 2 beweiſen. Dieſer aber folgt aus unſerem Satze 3 leicht indirekt.

4r Satz. Bildet eine von irgend einem Punkte einer geraden Linie auf eine zweite gefällte Senkrechte mit der erſten ungleiche Nebenwinkel, ſo iſt jede andere von irgend einem Punkte der erſten Linie auf die zweite gefällte Senkrechte größer oder kleiner als die erſte, je nachdem ihr Anfangspunkt im Schenkel des ſtumpfen oder in dem ſeines ſpitzen Nebenwinkels liegt.

Sehr leicht läßt ſich dieſer Satz 4 indirekt aus dem 1. und 3. beweiſen. Um ihn direkt aus 1 zu be⸗ weiſen, braucht man nur von irgend einem Punkte der erſten geraden Linie eine zweite Senkrechte auf die zweite gerade Linie zu fällen, dann auf der, wenn es nöthig ſein ſollte, verlängerten erſten Senkrechten vom Fußpunkt an ein der zweiten Senkrechten gleiches Stück abzutragen und deſſen Endpunkt mit dem Anfangspunkt der zweiten Senkrechten zu verbinden. Dieſe Verbindungslinie muß dann nach 1 mit beiden Senkrechten rechte Winkel bilden, deßwegen aber und weil zwei Winkel im Dreieck weniger wie zwei Rechte betragen, entweder in den ſpitzen Winkel, welchen die erſte Senkrechte mit der erſten geraden Linie bildet, ſelbſt fallen oder in ſeinen Scheitelwinkel, je nachdem ſie und alſo auch die zweite Senkrechte von der erſten auf der Seite des ſpitzen Winkels oder auf der ſeines ſtumpfen Nebenwinkels liegt; d. h. die zweite Senkrechte muß im erſten Falle kleiner, im zweiten größer ſein als die erſte, was behauptet wurde.

Der Satz 1 wird aus 4 indirekt bewieſen.

Zuſatz zu 4. Steht eine Senkrechte, welche von einem Punkte einer geraden Linie auf eine zweite gefällt wird, auf der erſten ſchief, ſo muß jede andere von der erſten auf die zweite Linie gefällte Senkrechte um ſo kleiner werden, je weiter ihr Anfangspunkt im Schenkel des ſpitzen Winkels, und um ſo größer, je weiter er im Schenkel des ſtumpfen Winkels von der erſten Senkrechten abſteht.

Alle innerhalb des ſpitzen Winkels, welchen die erſte Senkrechte mit der erſten geraden Linie bildet, liegenden Senkrechten ſind(nach 4) kleiner wie die erſte und bilden daher(nach 3) mit der erſten geraden Linie nach der⸗ ſelben Richtung hin ſpitze Winkel, weil ſie Supplementwinkel von gleichen ſtumpfen Winkeln ſind; daher muß auch (nach 4) jede folgende kleiner ſein als die vorhergehende. Faſt mit denſelben Worten läßt ſich das Größerwerden der Senkrechten beweiſen, welche im ſtumpfen Winkel der erſten liegen und ſich von dieſer mehr und mehr entfernen.