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Linien ſich ſchneiden, wenn die ſchiefe Linie ſehr ſtark gegen die dritte Linie geneigt iſt, d. h. einen kleinen ſpitzen Winkel mit ihr gegen die erſte Linie hin bildet; wenn aber dieſer Winkel nahezu einen Rechten beträgt, ſo läßt uns die Wahrnehmung im Stiche; aber ſelbſt wenn ſie uns auch in dieſem Falle die Gewißheit gäbe, daß ſich beide erſtere Linien mehr und mehr annäherten, ſo berechtigte uns auch dies noch nicht zu dem Schluſſe, daß beide Linien ſich durchſchneiden müßten. Schon die Annahme einer ununterbrochenen Annäherung beider Linien, noch mehr aber die ihrer Annäherung bis zum Durchſchneiden iſt eine logiſche Willkühr, ein Schluß vom Beſonderen aufs Allgemeine. Die Mathematik kann aber nur dadurch auf unumſtößliche Gewißheit Anſpruch machen, daß ſie ihre Schlüſſe auf unbeſtreitbare Vorausſetzungen gründet; ſie darf daher auch keine Lücken, am wenigſten formale, logiſche zulaſſen. Das ſtrenge ſpeculative Denken duldet, wie Herbart ſagt, keine Willkührlichkeiten.

Sollen wir uns, abgeſchreckt durch die Schwierigkeit des Beweiſes, wie es geſchehen iſt, damit tröſten, daß der Satz doch ſachlich richtig ſei, d. h. daß ſeine Annahme die ſachliche Gewißheit der Parallelentheorie und der auf ſie gegründeten Sätze nicht erſchüttere, und daß noch andere Mängel in der Geometrie beſtehen, wie die De⸗ finition der geraden Linie, der Ebene, über welche wir leicht hinweggingen, während wir uns nur bei dieſem Satze ſo viele Mühe machten? Wollen wir uns dieſes Armuthszeugniß in Bezug auf den Willen und die Denkkraft ausſtellen? Aus der Erkenntniß jener Lücken kann doch nur die Verpflichtung für uns abgeleitet werden an ihrer Ausfüllung zu arbeiten, nicht aber reſignirt die Hände in den Schooß zu legen.

II.

Wer die Grundanſchauungen und die daraus abgeleiteten Erklärungen Euklids feſthält, muß, wie dieſer, bald die Ueberzeugung gewinnen, daß dieſe Stützen weder hinreichen zur Begründung des eilften Grundſatzes ſelbſt, noch zu der ſeines Gegenſatzes, nämlich unſerer Sätze II und III.

Dies gab die Veranlaſſung zur Aufſtellung anderer ſcheinbar einfacherer Sätze. Sie finden ſich zerſtreut in den einzelnen Parallelentheorien, laſſen ſich aber leicht vollſtändig aus den Sätzen I und III analytiſch entwickeln. Ich ſtelle ſie hier in zwei Gruppen zuſammen und werde bei den Sätzen einer jeden einzelnen Gruppe kurz zeigen, wie ſich bei vorausgeſetzter Richtigkeit irgend eines von ihnen jeder andere beweiſen läßt, dann werde ich die Verſuche ſie unmittelbar zu beweiſen auseinanderſetzen und endlich die hauptſächlichſten Weiſen mittheilen, auf welche durch ſie die Parallelentheorie begründet worden iſt.

Die Sätze der erſten Gruppe heißen:

1r Satz. Sind die von zwei beliebigen Punkten einer geraden Linie auf eine zweite gefällten Senkrechten gleich, ſo ſtehen ſie auch auf der erſten Linie ſenkrecht und ſchneiden von beiden gleiche Stücke ab.

2r Satz. Steht eine von irgend einem Punkte einer geraden Linie auf eine zweite gefällte Senkrechte auch auf der erſten ſenkrecht, ſo muß auch jede andere von der erſten auf die zweite Linie gefällte Senkrechte auf der erſten ſenkrecht ſtehen und der erſten Senkrechten gleich ſein; ferner müſſen auch je zwei von der erſten auf die zweite Linie gefällte Senkrechte von beiden Linien gleiche Stücke abſchneiden.

Bei vorausgeſetzter Richtigkeit des Satzes 1 läßt ſich Satz 2 leicht beweiſen. Man braucht nur von beiden geraden Linien auf derſelben Seite der Senkrechten von dieſer an gleiche Stücke abzuſchneiden und die Endpunkte derſelben durch eine gerade Linie zu verbinden, ſo muß nach 1 dieſe Verbindungslinie auf beiden geraden Linien ſenkrecht ſtehen und der erſten Senkrechten gleich ſein. Da es nun von einem Punkte außerhalb einer geraden Linie auf dieſe nur eine Senkrechte gibt, ſo iſt der Satz bewieſen.