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wir richtig von der Wahrheit je eines Satzes von jedem dieſer Sätzepaare auf die des anderen. Der Satz! ſagt nämlich aus, daß durch die Gleichheit der correſpondirenden Winkel(A) der Parallelismus der Linien(B) be⸗ dingt ſei, d. h. Ia. Wenn A iſt, ſo muß auch ſtets B ſein. Daraus folgt aber unmittelbar durch Contrapoſition: IVa. Wenn B nicht iſt, ſo kann auch nicht A ſein.

Nun gibt es aber nur parallele oder nicht parallele, d. h. ſich ſchneidende Linien, und ebenſo nur gleiche oder ungleiche correſpondirende Winkel; d. h. es gibt nur B oder Nicht⸗B, A oder Nicht⸗A. Daher muß, wenn B nicht iſt, Nicht⸗B, wenn A nicht iſt, Nicht⸗A, wenn Nicht-B nicht iſt, B, und wenn Nicht⸗A nicht iſt, A ſein.

Die gegenſeitige Abhängigkeit unſerer Sätzepaare I IV, und II III, erhellt nun leicht aus folgenden Sche⸗ maten, von welchen jedes mit der Nummer des durch daſſelbe bezeichneten Satzes verſehen iſt.

Ia. Wenn A iſt, ſo muß auch B ſein...... Illa. Wenn B iſt, ſo muß auch A ſein.

IVa. Wenn B nicht iſt, ſo kann auch A nicht ſein. IIa. Wenn Anicht iſt, ſo kann auch B nicht ſein.

IVb. Wenn Nicht⸗B iſt, ſo muß auch Nicht⸗A ſein. Ilb. Wenn Nicht⸗A iſt, ſo muß auch Nicht⸗B ſein.

1b. Wenn Nicht⸗A nicht iſt, ſo kann auch Nicht⸗ IlIb. Wenn Nicht⸗B nicht iſt, ſo kann lauch

nicht ſein. Nicht⸗A nicht ſein.

Ia. Wenn A iſt, ſo muß auch B ſein....... Illa. Wenn B iſt, ſo muß auch A ſein.

Von ſolchen durch Contrapoſition gebildeten Gegenſätzen wird in der Mathematik der eine meiſt indirekt mit Hülfe des anderen bewieſen.

Euklid hat zuerſt den Beweis des Satzes IV im ſechzehnten Satze des erſten Buches ſeiner Elemente gegeben. Streng genommen iſt es eigentlich nicht der IVte Satz ſelbſt, den er bewieſen hat, ſondern eine andere Einkleidung deſſelben, nämlich die, daß jeder Außenwinkel eines Dreiecks größer iſt als jeder der beiden inneren ihm nicht anliegenden Winkel deſſelben.

Als Vorbereitung zum Beweiſe zieht er von den Ecken eines Dreiecks Transverſalen nach den Halbirungs⸗ punkten der gegenüberliegenden Seiten, verdoppelt dieſelben durch Verlängerung über dieſen Punkt hinaus und verbindet die ſo erhaltenen Endpunkte mit den Ecken des Dreiecks. Dadurch erhält er Scheiteldreiecke, welche von einer Transverſalen oder von ihrer Verlängerung und je einer der Hälften der durch ſie halbirten Seite begränzt werden. Aus der Congruenz dieſer Dreiecke folgt zwar zunächſt nur, daß jeder Außenwinkel des Dreiecks größer iſt wie einer von den beiden inneren ihm nicht anliegenden Winkeln deſſelben; daraus aber und aus der Gleichheit der an derſelben Ecke liegenden Außenwinkel, als Scheitelwinkel, ergibt ſich das im Lehrſatze Behauptete.

Die Umkehrung dieſes IVten Satzes, nämlich unſer Satz II, iſt bei Euklid der eilfte der zwölf Grund⸗ ſätze, welche er dem erſten Buche ſeiner Elemente voranſtellt. Daher blieben ihm zur Begründung der vier Haupt⸗ ſätze der Parallelentheorie nur noch die Beweiſe des I. und II. Satzes übrig, welche er, wie wir oben geſehen haben, leicht indirekt führen konnte. Dies that er zum ſiebenundzwanzigſten und neunundzwanzigſten Satze.

Niemand wird an der Parallelentheorie Euklids etwas auszuſetzen finden, welcher den IIten Satz als Grundſatz, d. h. als Satz, der keines Beweiſes bedarf, anerkennt. Gegen dieſe Anerkennung aber ſträubt ſich das logiſche Gewiſſen. Denn daß er an ſich, ohne Beweis, nicht gewiß iſt, dies beſtätigen ſchon die vielen Ver⸗ ſuche ihn zu beweiſen. Aber auch ein näheres Eingehen auf den Satz ſelbſt wird uns zeigen, daß die Behauptung deſſelben nicht in allen Fällen als unmittelbar gewiſſe Folge ſeiner Vorausſetzung ſich wahrnehmen läßt. Nehmen wir dazu den Satz in ſeiner einfachſten Geſtalt, nämlich zwei gerade Linien, von welchen die eine ſenkrecht, die andere ſchief gegen dieſelbe dritte gerade Linie ſteht. Leicht läßt ſich hier zwar erkennen, daß die beiden erſteren