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Winkel beide derſelben oder verſchiedenen Seiten der ſchneidenden Linie anliegen. Im engeren Sinne aber ge⸗ brauche ich das Wort Gegen⸗ oder Wechſelwinkel nur für diejenigen Gegen⸗ oder Wechſelwinkelpaare, deren einzelne Winkel beide innerhalb, oder beide außerhalb der durchſchnittenen Linien, alſo einander zugewendet oder von einander abgewendet liegen; die Gegenwinkelpaare aber, deren einer Winkel innerhalb und deren anderer außerhalb der durchſchnittenen Linien liegt, welche alſo in Bezug auf die Richtung ihrer Schenkel und ihre eigene eine ganz gleiche Lage haben, nenne ich gleichliegende oder correſpondirende Winkel.

Den Satz, welcher die Abhängigkeit dieſer Winkel beſtimmt, will ich, weil ich mich häufig auf ihn werde berufen müſſen, ebenfalls hier angeben und mit G bezeichnen. Er heißt:

5 Sind zwei correſpondirende⸗, oder zwei Wechſelwinkel gleich, oder betragen zwei Ge⸗ genwinkel zuſammen zwei Rechte, ſo ſind auch je zwei correſpondirende⸗, und je zwei Wechſelwinkel gleich, und je zwei Gegenwinkel betragen zuſammen zwei Rechte. 1

Für diejenigen, welche Euklid's Elemente ſelbſt nicht kennen, bemerke ich, daß bei ihm den Beweiſen der Sätze über Parallelen und Convergenten die Beweiſe der Sätze über die Winkel und über die Dreiecke, und zwar ſowohl über die Winkel eines Dreiecks, als auch über die Beziehungen zwiſchen Seiten und Winkeln in einem und in verſchiedenen Dreiecken, mit alleiniger Ausnahme des einen Satzes über die Summe der drei Winkel in einem Dreiecke, vorausgehen; freilich in einer ſcheinbar ſo großen Unordnung, daß nur der den Faden aus dieſem Labyrinthe finden kann, welcher die Sätze aus dem Beweiſe des Schlußſatzes des erſten Kapitels, dem Pythago⸗ räiſchen Lehrſatze nämlich, analytiſch entwickelt.

Zur Begründung der Parallelentheorie iſt nur der Beweis von vier Hauptſätzen nöthig; alle übrigen Sätze derſelben laſſen ſich leicht aus dieſen folgern. Sie heißen, wenn man die Euklid'ſche Deſinition der Parallelen vorausſetzt:

lI. Wenn zwei gerade Linien mit derſelben dritten zwei gleiche correſpondirende⸗ oder zwei gleiche Wechſelwinkel oder zwei Gegenwinkel bilden, welche zuſammen zwei Rechte betragen, ſo ſänd ſie parallel.

II. Wenn zwei gerade Linien mnit derſelben dritten zwei ungleiche correſpondirende⸗ oder zwei ungleiche Wechſelwinkel oder zwei Gegenwinkel bilden, welche größer oder kleiner als zwei Rechte ſind, ſo ſchneiden ſich die beiden erſteren Linien und zwar auf der Seite der dritten, auf welcher ein äußerer Winkel größer iſt als ſein innerer eorreſpon⸗ dirender Winkel, oder auf welcher zwei innere Gegenwinkel zuſammen weniger als zwei Rechte betragen.

III. Wenn zwei gerade Linien parallel ſind, ſo bilden ſie mit jeder dritten ſie ſchnei⸗ denden geraden Linie gleiche correſpondirende⸗ und gleiche Wechſelwinkel, ſowie Gegen⸗ winkel, welche Supplemente ſind.

IV. Wenn zwei gerade Linien ſich ſchneiden, ſo bilden ſie mit jeder dritten ſie ſchnei⸗ denden geraden Linie ungleiche correſpondirende Winkel und innere Gegenwinkel, welche keine zwei Rechte betragen, und zwar ſind auf der Seite der Convergenz die äußeren Winkel größer wie ihre inneren correſpondirenden Winkel, und die beiden inneren Gegen⸗ winkel betragen zuſammen weniger wie zwei Rechte; auf der Seite der Divergenz aber findet das Gegentheil ſtatt.

Von dieſen vier Sätzen laſſen ſich aber der IJ. und IV. ebenſo wie der II. und Ill. durch Contrapoſition unmittelbar auseinander folgern; denn da hier nur von contradiktoriſchen Gegenſätzen die dte iſt, ſo ſchließen