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lelentheorie von Euklid'ſchen Anſichten aus zu begründen in Gruppen beſprechen, welche ich unbekümmert um die Zeit ihrer Entſtehung nur nach dem Inhalt zuſammenſtelle, dann zur Beurtheilung der hierher gehörigen Defini⸗ tionen übergehen und endlich die neueren Anſichten und ihre Vereinfachung mittheilen.

Bevor ich jedoch zur Auseinanderſetzung jener Verſuche übergehe, glaube ich in Rückſicht auf den oben vor⸗ ausgeſetzten Leſerkreis nicht nur die Aufgabe der Parallelentheorie und ihre Löſung durch Euklid, ſondern auch die dahin gehörigen Euklid'ſchen Definitionen angeben zu müſſen.

J.

Euklid ſagt:„Die gerade Linie iſt eine ſolche, welche zwiſchen je zweien ihrer Punkte nur auf eine Art liegen kann.“

Eine vollkommnere Erklärung der geraden Linie haben wir auch jetzt noch nicht. Denn wenn wir ſie eine Linie nennen, deren Punkte alle ihre Lage im Raume dadurch nicht verändern, daß wir die Linie ſelbſt um zwei beliebige in ihr liegende, als feſt gedachte Punkte umdrehen, ſo ſetzen wir ebenfalls voraus, daß es eine ſolche Linie gibt. 1

Auch die Crell'ſche Erklärung, nach welcher ſie eine Linie iſt, die je an zwei entgegengeſetzten Seiten dieſelbe Geſtalt hat, ſo daß, wenn man die eine Seite der Linie in die andere, d. h. den Flächenraum an der einen Seite in den Flächenraum an der anderen legt, die Gränzen dieſer Näume an demſelben Orte im Raume bleiben, ſagt nichts anderes aus und ſetzt nicht nur daſſelbe, ſondern auch noch den Begriff der Ebene voraus. Denn wie ſoll man bei von einer geraden Linie begränzten Kegel⸗ oder Cylinderflächen den Flächenraum an der einen Seite der Linie in den an ihrer anderen Seite legen? Doch zeigt dieſe Erklärung am anſchaulichſten, was wir unter gerader Linie verſtanden wiſſen wollen, ſie läßt aber auch am deutlichſten die Mängel der drei Erklärungen hervortreten. Denn daß eine Linie an zwei entgegengeſetzten Seiten dieſelbe Geſtalt haben koͤnne, wird Niemand bezweifeln, daß ſie aber auch dann an je zwei andern dieſer Seiten dieſelbe Geſtalt haben müſſe, wird ohne Begründung dieſer Noth⸗ wendigkeit Niemand annehmen wollen. Wir haben hier alſo Lehrſätze in der Form von Definitionen; denn der Grund, aus welchem die Behauptung als Folge der Vorausſetzung erſcheint, iſt nicht mitgegeben. Da dieſer Grund leider auch gar nicht bekannt iſt, ſo läßt ſich auch die reale Möglichkeit der geraden Linie nicht nachweiſen; bis er, was hoffentlich recht bald geſchieht, gefunden wird, müſſen wir uns mit der ſubjektiven Möglichkeit be⸗ gnügen. Obgleich dieſe Lücke nur eine formale iſt und daher keinen Einfluß auf die Begründung der Geometrie, alſo auch nicht, wie viele irrthümlich meinen, auf die Begründung der Parallelentheorie ausüben kann,— ſo dürfen wir doch nicht ruhen, bis auch ſie ausgefüllt iſt.

Euklid gibt ferner noch folgende hierher gehörende Erklärungen:

Ein ebener Winkel iſt die Neigung zweier geraden Linien gegeneinander, welche in einer Ebene zuſam⸗ menlaufen, ohne in einer geraden Linie zu liegen.

Parallel ſind gerade Linien in einer Ebene, die, ſoweit man ſie auch an beiden Seiten verlängern mag, doch an keiner Seite zuſammentreffen.

Ueber dieſe und andere Erklärungen des Winkels und der Parallelen ſpäter ausführlicher.

Da die Winkel an verſchiedenen Scheiteln ſehr verſchieden benannt werden, ſo gebe ich zur Vermeidung von Mißverſtändniſſen hier an, wie ich die wichtigſten derſelben zu benennen pflege. Werden zwei gerade Linien von einer dritten durchſchnitten, ſo nenne ich von den dadurch gebildeten Winkelpaaren diejenigen, deren einzelne Winkel an verſchiedenen Durchſchnittspunkten liegen, im Allgemeinen Gegen⸗ oder Wechſelwinkel, je nachdem die einzelnen