Als ich es übernahm das Programm zu ſchreiben, war ich im Zweifel, ob ich einen mathematiſchen Gegenſtand zum Vorwurf deſſelben wählen ſolle, der nur Fachmänner intereſſire, oder einen ſolchen, deſſen Verſtändniß auch den gebildeten Freunden der Schule zugänglich ſei. Ich entſchied mich für das Letztere, veranlaßt hauptſächlich durch die Erwägung, daß jetzt, wo ſo viele wiſſenſchaftliche Zeitſchriften beſtehen, die Programme eigentlich nur noch die Erziehung oder den Unterricht Betreffendes oder doch nur ſolche Gegenſtände behandeln ſollten, welche nicht über den Horizont der reiferen Primaner hinausliegen und mit Intereſſe und Nutzen von denſelben geleſen werden können.

Der Gegenſtand, welchen ich gewählt habe, die Parallelentheorie nämlich, bietet nur ein formales, logiſches Intereſſe. Er ſcheint, wohl mit aus dieſem Grunde, in der neueren, dem Praktiſchen zugewandten Zeit weniger der Gunſt der Mathematiker ſich zu erfreuen, als dies in der früheren Zeit der Fall war, wo noch Euklid in den Schulen herrſchte. Denn die Anerkennung der Meiſterſchaft Euklids, die Ueberzeugung von der Vollkommen⸗ heit ſeiner Elemente als Lehrbuch der Geometrie hinderte ſeine Schüler und Verehrer nicht die Lücken in ſeiner Parallelentheorie zu erkennen und die Ausfüllung derſelben zu verſuchen. Ja Euklid ſelbſt war ſich dieſes Mangels bewußt. Durch die Annahme ſeines eilften Grundſatzes, von dem er gewiß eben ſo gut wie wir wußte, daß er eines Beweiſes bedürfe, ſprach er doch wohl nur die Ueberzeugung aus, daß bei ſeinen Anſchauungen und den daraus abgeleiteten Grundbegriffen der Beweis dieſes Satzes unmöglich ſei. Die RNichtigkeit dieſer Anſicht wurde beſtätigt durch das Mißlingen aller der unzähligen Verſuche, welche ſeitdem gemacht wurden, jenen Satz geſtützt auf Euklid'ſche Erklärungen zu beweiſen. Zu dieſem Ziele führt ein anderer Weg. Er iſt längſt angedeutet, ja betreten und ſogar kurz und bequem. Aber wie eine ſüße Gewohnheit, eine lieb gewonnene Neigung, ſelbſt wenn ihre Schädlichkeit erkannt iſt, nur ſelten und auch dann immer nur mit großen Beſchwerden abgelegt wird, ſo konnten auch bis jetzt die meiſten Mathematiker ſich nicht entſchließen ihre von Euklid überkommenen Vorſtellungen, wie es jener neue Weg fordert, aufzugeben, und ſelbſt diejenigen, welche ſich genöthigt ſahen anzuerkennen, daß jener Weg richtig zum Ziele führe, glaubten ihn doch wegen der Schwierigkeiten, die er in ſeiner bisherigen Ge⸗ ſtalt bot, aus den Lehrbüchern der Elementargeometrie verbannen zu müſſen. Es gibt aber eine Geſtalt deſſelben, in welcher er den Schülern ſehr leicht zugänglich iſt. Ehe ich dieſe auseinanderſetze, glaube ich die verſchiedenen, bisher betretenen Wege, auf welchen man die Begründung der Parallelentheorie verſuchte, wenigſtens kurz andeuten und zeigen zu müſſen, warum ſie nicht zum Ziele führten.—

Ich will keine kritiſche Beleuchtung der einzelnen Parallelentheorien geben, wie dies Hoffmann in ſeiner Kritik der Parallelentheorie gethan hat, und wahrſcheinlich auch Klügel in einer mir unbekannten, wie er ſelbſt im mathematiſchen Wörterbuch ſagt, zu Göttingen im Jahre 1763 unter Käſtners Aufſicht ausgearbeiteten Schrift, welche acht und zwanzig mehr oder weniger verſchiedene Beweisarten anführt und beurtheilt. Auch will ich nicht die einzelnen Beweisarten am Faden der Geſchichte verfolgen; dazu fehlt es mir an Zeit und beſonders auch bei der Entfernung von jeder größeren Bibliothek an Hülfsmitteln; ich beabſichtige nur die Erlebniſſe oder die inneren Erfahrungen mitzutheilen, welche ich während einer langen Lehrthätigkeit weniger in der Schule ſelbſt als beim Arbeiten für die Schule in Bezug auf dieſen Gegenſtand gemacht habe. Ich werde daher die Verſuhe die Paral⸗