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Rückt O auf den Mantel des Cylinders d. h. wird= r, so muss die gesuchte Funktion G in die reciproke Entfernung der Punkte(a, s,) und(æ, r.,) übergehen.
Dem Heine'schen Handbuch der Kugelfunktionen entnehmen wir die Entwicklung der reciproken Entfernung zwischen zwei Punkten(x, r, w) und(a, s, P).
Unter der Voraussetzung, dass s=y ist, wird
2 00 2== 2 8 cos2b—) ſ J.(i 4s) K.(iar) cosa(a—) da, „= O 0
wo durch den Strich bei dem Summenzeichen angedeutet werden soll, dass das erste Glied der Entwicklung nur halb zu nehmen ist. Unter der Voraussetzung, dass s= r ist, ist in der vorigen Darstellung s mit zu vertauschen. Daher erhalten wir für die reciproke Entfernung von(a, s,) und(æ, r.,) den Ausdruck:
T0,s,v; 79)= 4. K,/ cos»— a). ſ J, ar,). X.(115) cosa(.— a) dz.
A„S
Die Funktion G hat nun ferner die Eigenschaft, ein Flächenpotential in dem Raume darzustellen, in welchem= r, ist, und ihre Form ergiebt sich leicht, wenn wir uns des Gauss'schen Satzes erinnern, dass das Potential eines Körpers mit Masse von gegebener Dichtigkeit sich durch Belegung seiner Grenzflächen mit Masse als Flächenpotential dar- stellen lässt. Nach Gauss versteht man unter dem Potential einer Masse in Bezug auf einen von ihr angezogenen Punkt die Summe aller Elemente der Masse, jedes dividiert durch seine Entfernung von jenem Punkte, sodass das Körperpotential durch Au. definiert ist. Substituieren wir hierin für R seine Entwicklung nach Cylinderfunktionen erster und zweiter Art und lösen den cos auf, so erkennen wir leicht, dass für das Potential G, welches von Massen herrührt, die auf dem Mantel des unbegrenzten geraden Kreiscylinders verteilt sind, bezogen auf einen Punkt x, r, im Aeusseren, der Ansatz gemacht werden kann:
00 6G6= XY. cos ſ K,(A1†)[c, cos A=ν+ d, sin 4m⁷] da.
„= 0 0
— 8 Inveſſ K(A1†) Loνοs e d sin Aτ.
„7= 1
Die Vergleichung dieses Ausdrucks mit dem obigen für T'(a, s, P;, r.,), wenn man in ersterem= v, macht, liefert für die Grössen d,, d, cν, di,(die auch den Index 1 enthalten) die Werte:
„ ddẽ 4 Je(Airn) (o=ie e, d0s h., a). K,(Air.) „ 342, 4. I. Gir) Co= inia a in e.,4s) K,(Air.):