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Nachdem so der Zusammenhang der Orts-, Lagen- und Verbindungsverhältnisse an einer hinreichenden Anzal von Liniengebilden in Bezihung auf Zal, Art und Zusam- menhang der Winkel durchgenommen worden ist, so werden nun nochmals die schon in dem vorigen Teil der Formenlere betrachteten geschlossenen geradlinigen Figuren zum Gegenztand des Unterrichts gemacht, diesesmal aber von den Schülern selbsttätig gebildet, auch die(nach den anschaulichen Eigenschaften) verschiedenartigen„ erschöpfend aufge- sucht.— Die Reihe dieser Übungen begint mit der Anzal der Punkte, welche nötig ist, um ein Drei-, Vier-, Fünfeck etc. anzudeuten, und mit der Anzal der Richtungen in welchen diese liegen können. Alsdann werden die Schüler angehalten, eine volständige Eintei- lung der Dreiecke, Vierecke etc. zu entwerfen, welehe sich endlich auch(bis zu einer gestekten Grenze) über die in dem vorigen Teil nicht betrachteten erstrekt, die also alle selbsttätig erfunden werden müssen.— Nach diesem wird untersucht, wie viel und was für geschlossene geradlinige Figuren man mit einer gegebenen Anzal von Linien bilden könne. wenn die Anzal der Verbindungspunkte und die Lage der Linien näher bestimt sind.

Die 2te Unterabteilung hat es mit den krummen Linien im Verhältniss zu Punkten oder zu Graden oder dieser zu einander zu tun.— Wir wollen der Kürze wegen nur Einiges aus derselben hervorheben. Hier komt erst das Verhältniss eines Kreises zu einem Punkt in Betracht. Das wichtigste ist das zum Mittelpunkt. Bei der geraden Linie und dem Kreis kommen die bekanten Verhältuisse der Tangente und Secante vor, dann bei zweien geraden die verschiedenen Winkel im Verhältniss zum Kreise.— Bei mereren Kreisen werden eben so, wie bei den geraden Linien mit einem Kreise Orts- und Lagen- verhältnisse und Verbindung in Betracht gezogen. Die Arten solcher Winkel„welche durch zwei Bogen gebildet werden, lassen wir jedoch hier unbherürt, wie Alles, was nicht so einfach ist, dass es durch den Augenschein sicher erkant werden kann. Die Aufgaben durchlaufen also in dieser Bezihung einen einſacheren Weg, als bei den geraden Linien; dage- gen bieten die Verbindungen von Kreislinien und Kreisbogen in anderer Bezihung schon eine grössere Mannichfaltigkeit, z. B. wenn man berüksichtiget„ wie viel und welche Bogen bei einer geschlossenen Figur nach Aussen hin erhaben oder hol sein können.

In den Anfang der dritten Abteilung stellen wir diejenigen UÜbungen, welche den Übergang zu den Verhältnissen der Flächen bilden. Wir müssen uns hier schon deshalb

auf die einfachsten Verhältnisse beschränken, weil ihre Darstellung schwieriger ist„ und 3*