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traction und Division. Das erstere fragt nach dem Unterschied(und daran schliesst sich das Aufsuchen des Mittelmasses), das zweite, wie oft ein gemeinschaftliches Mass in den verglichenen Linien enthalten sei. 3) Die Lagenverhältnisse sind nur von den Ortsverhältnissen abhängig. 4) Die Verbindung der Linien ist in Abhängigkeit von Orts-, Grössen- und Lagenverhältnissen. Es sind die Arten der Verbindung zu unterscheiden, wonach sich Linien entweder der Länge nach, oder nur in einem Punkt verbinden. Für die lezteren Fälle ist wieder die Art des Verbindungspunktes näher zu bestimmen. Denn er kann ein End- oder ein innerer Punkt für eine oder für beide Linien sein(Endverbindungspunkt, Theilverbindungsp., Durchschnitsp.). Bei mereren Linien sind die Verhältnisse noch mannichfacher. Man lässt z. B. bei der Verbindung untersuchen, in wievielen und welchen Verbindungspunkten sich eine gewisse Anzal von Linien verbinden kann, und lässt die Anzal der Fälle erschöpfen. Nach diesem wiederhole man nochmals jede Art der Verhältnisse der Linien mit Berücksichtigung der übrigen.— Die zusammengesezten Verhältnisse geben folgende Übungen: 1) Die Teilung einer Linie durch Punkte mit Berücksichtigung der Grössenverhältnisse der Teile; 2) die Verbindung von Linien mit Berüksichtigung der Anzal der Teile, in welche die sich verbin- denden Linien bei einer oder der andern Art der Verbindungspunkte teilen; 3) die Abhängigkeit der Zal der Verbindungspunkte von dem Lagenverhältniss der Linien. Es kann die 1te UÜbung sogleich nach der 2ten der einfachen Verhältnisse, die beiden andern können nach der 4ten derselben eingeschaltet werden. Das wichtigste zusammengesezte Verhältniss ist der Winkel, bei welchem Lagen- und Orts- verhältniss samt Verbindung von mindestens zwei Linien in Betracht komt. Der Winkel ist aber auch eine durch Linien teilweise begrenzte Fläche(Win- kelraum) sonst könnte von seinem Ort, von seinen Teilen, sowie von seiner Grösse keine Rede sein*). Von der Grösse des Winkels hängt zugleich der Grad der

*) Die Vermengung dieser beiden mit demselben Wort beuzeichneten eng zusammenhängenden und doch im Verständniss klar auseinander zu haltenden Begriffe hat viel Missverständniss und Wortge- zänk veranlasst. Auch auf dieser Stufe soll und muss der Lerer klare Begriffe über des Gebilde Winkel, und das Verhältniss Winkel haben(wenn schon bei den Schülern davon noch keine Rede sein kann) sonst ist er nicht fähig, diesen Stoff mit gutem Erfolg zu behandeln.— Das Liniengebilde des Winkels, welches man einen gebrochenen Zug nent, ist über dieses wieder eine andere Sache. Der Fortschritt ist dieser: 1) gebrochener Zug(Liniengebilde), 2) Winkel(einseitiges Lagenverhältniss der Linien, oder einseitiger Unterschied der Lage— Richtung— derselben), 3) Win- kel(Winkelraum, Fläche zwischen den Schenkeln mit Rüksicht auf ihre verhältnis: mässige Breite).