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eigentlichen Begrifsbestimmungen(Definitionen) fern, aber Beschreibungen der Sache sind häufig notwendig; Sätze kommen wol vor, sofern sie der Anschauung entnommen werden können, aber keine Beweise derselben.

Die erste Abteilung, welche von den Punkten handelt, ist ser kurz, weil ein Punkt nur Zal und Ort hat. Da nun die Betrachtung der Zalenverhältnisse für sich in die Zalenlere gehört, so bleibt hier nur das Ortsverhältniss zu untersuchen übrig. Es fragt sich also, welches Ortsverhältniss können 2, 3 etc. Punkte zu einander haben?— Dar- nach können nur 2 Punkte entweder ein und denselben Ort haben, oder jeder von beiden kann seinen besonderen Ort haben.

Die zweite Abteilung handelt von den geraden und von den einfachsten krummen Linien, den Kreisen innerhalb der Ebene, auch von den Punkten innerhalb solcher Linien und der Ebene. Sie zerfält wieder in 2 Unterabteilungen, deren erste von den geraden Linien und den Punkten in der Ebene handelt. Hier ist das Ortsverhältniss von Punkt zu Linie aufzufassen. Von der Linie aus zum Punkt besteht aber noch ein anderes Verhältniss, sobald derselbe nicht ausserhalb der Linie, sondern in oder an ihr gedacht wird: sie wird dadurch begrenzt und geteilt. Bringt man endlich die Richtung und Grösse der Linie noch mit in Betracht, so gehen durch einen jeden Punkt in der Ebene Linien nach unendlieh verschiedenen Richtungen: zwei aussereinander fallende Punkte bestimmen allemal die Richtung eiuer Linie, welche durch beide geht, und wenn man die Gerade blos von einem Punkt bis zum andern nimt, so begrenzen sie dieselbe auch und bestim- men durch ibre Entfernung die Grösse der Linie. Drei Punkte können so aussereinander fallen, dass entweder eine oder drei, für je zwei gemeinschaftliche, Richtungen durch die- selben gelegt werden können. Richtungen werdeu aber durch Linien dargestelt.

Alsdann geht die Betrachtung zu den Verhältnissen gerader Linien über. Da eine jede Linie ausser Zal auch noch Ort, Lage und Grösse hat, auch jede sich örtlich mit einer andern verbinden kann, so gibt es hier mannichfaltige, einfache Teilverhältnisse(Be- zihungen) und Gesamtverhältnisse der Linien aufzusuchen. Die einfachen sind folgende: 1) Die Ortsverhältnisse. Sie sind auch schon bei zwei Linien ziemlich mannichfaliig, und können nur in Abhängigkeit von Grösse, Lage und Verbindung dargestelt werden. 2) Die Grössenverhältnisse verlangen zur Vergleichung das Aufeinanderlegen, mit- hin ein Orts- und Lagenverhältniss, das hier zugleich Verbindungsverhältniss ist. Es gibt

ein doppeltes Vergleichen der Grösse, entsprechend den Zalenoperationen der Sub-